완경사 방정식에서 에너지 감쇠층을 이용한 파의 반사율 제어

Control of Wave Reflection Using Energy Damping Layers in theMild-Slope Equation

Article information

J. Korean Soc. Hazard Mitig. 2016;16(3):345-349
Publication date (electronic) : 2016 June 30
doi : https://doi.org/10.9798/KOSHAM.2016.16.3.345
정태화*, 손상영
* Member. Professor, Department of Civil and Environmental Engineering, Hanbat National University
**Corresponding Author. Member. Professor, School of Civil, Environmental and Architectural Engineering, Korea University (Tel: +82-2-3290-4865, Fax: +82-2-928-7656, Email: sson@korea.ac.kr)
Received 2016 January 25; Revised 2016 January 25; Accepted 2016 April 14.

Abstract

본 연구에서는 에너지 감쇠역을 이용하여 파랑의 반사율을 제어할 수 있는 기법을 소개하였다. 선형파가 에너지 감쇠역을 통과할 때, 파고의 감소는 파의 군속도와 복소수로 표현되는 파수의 허수값과 밀접한 관련이 있다. 이와 같은 성질을 이용하여 완경사 방정식을 이용한 수치해석에서 원하는 파고의 파가 반사될 수 있는 방법을 연구하였으며 다양한 반사율에 대해 수치모의를 실행하여 타당성을 검증하였다.

Trans Abstract

A new technique controling wave reflection using sponge layer is introduced in this study. Wave height in the sponge layer is affectedby the group velocity and imaginary part of complex wave number. Using this relation, the target wave height is reflected from theboundary. The present method is validated thorough the numerical simulation using the mild-slope equation.

1. 서론

외해에서 내해로 진입하는 파는 다양한 요인들에 의해 회절, 굴절, 천수, 반사 및 쇄파의 과정을 거쳐 변형이 된다. 이러한 파의 변형 과정은 매우 복잡하여 해석적으로는 해를 구할 수 없고 수치 해석을 통해서 계산을 해야 한다. 수치 해는 해석해와는 달리 이산화 과정을 거치기 때문에 필연적으로 오차를 수반한다. 이러한 오차를 최소화하여 신뢰할 만한 해를 구하는 것은 수치 해석을 통한 연구에서 매우 중요한 부분을 차지한다. 정확한 수치 해는 적절한 지배방정식과 경계조건을 통해서 구할 수 있다. 본 연구에서는 위 두 가지의 조건 중에서 경계조건과 관련된 연구를 수행하였다. 파랑과 관련된 경계조건에는 대표적으로 개방경계조건(open boundary condition)과 반사경계조건이 있다. 개방경계조건은 경계영역에서 파의 재반사없이 계산영역밖으로 파가 진행하는 것을 의미하며, 반사경계조건은 구조물이나 지형에 의해 진행하던 파의 일부분이 파 진행의 반대방향으로 되돌아가는 것을 의미한다.

경계조건 기법 중 비교적 근래에 개발된 스폰지 경계층 기법은 Larsen and Darcy (1983)에 의해 제안된 기법으로, 경계층 안으로 진입하는 파의 에너지를 인위적으로 감소시켜 반사파를 없애는 방법으로 N-S 방정식이나 Boussinesq 방정식에 적용되어 널리 활용되고 있다(이성대 및 김문정, 2014; 최준우, 2015). 지금까지 스폰지 경계층은 개방경계조건의 대안으로 활용되었다. 그러나 실무적인 측면에서는 이러한 외해의 개방경계조건 못지 않게, 구조물을 만나거나 지형을 만나서 발생하는 부분반사가 훨씬 빈번하게 발생가능한 내해측의 구조물경계조건도 적절히 고려해야 한다. 따라서 본 연구에서는 선형파 이론을 이용하여 구조물 등에 의해 부분반사가 발생하는 경우에도 스폰지 경계층 기법을 활용할 수 있는 방법을 제시하였다. 부분반사와 관련된 연구는 기존에도 많이 수행되었으며(Berkhoff, 1976; Isaacson and Qu, 1990, 천제호와 안경모, 2006), 대부분 정확한 계산결과를 제시한다. 본 연구에서는 기존의 방식에 비해 직관적이며 이해하기 쉬운 개념을 이용하여 경계면에서의 파의 반사율을 결정할 수 있는 방법을 제시하고자 한다. 스폰지 경계층과 같은 에너지 감쇠역에서 발생하는 파고감소는 파의 진행속도와 복소수로 표현되는 파수의 허수부분에 의해 결정된다(Ovesity et al., 2006; Oveisity et al., 2009). 이와 같은 원리를 이용하여 두 가지 변수를 적절히 조절하여 원하는 파가 반사될 수 있도록 하였다. 위 방법은 비록 부분반사를 사용하기 위하여 스폰지 경계층과 같은 별도의 에너지 감쇠역을 사용해야 한다는 단점이 있지만 경계조건을 구현하는 방식이 매우 간단하여 사용하기 편리한 장점이 있다. 본 연구에서 제시된 기법은 완경사 방정식을 이용한 수치모의를 통해서 타당성을 검토하였다.

2. 식의 유도

2.1 지배방정식

선형파 이론에 의해 유도된 완경사 방정식은 다음과 같은 형태로 표현이 가능하다(Nishimura et al., 1983; Horikawa, 1988).

(1)Qxt+c2x(ξ)+fDQx=0
(2)Qyt+c2y(ξ)+fDQy=0
(3)ξt+1n+{(nQx)x+(nQy)y}=0

여기서, QxQy는 각각 x방향 및 y방향의 유량을 의미하며, ξ는 자유수면, c는 위상속도, n은 다음과 같이 정의되는 위상속도와 군속도의 비(c/cg)를 나타낸다.

(4)n=12(1+2khsinh2kh)

또한, fD는 쇄파나 바닥 마찰에 의해 발생하거나, 또는 스폰지 경계층 내부에서 인위적으로 발생하는 에너지 감쇠를 고려하기 위해 추가된 계수로 다음과 같은 식을 만족한다(Ovesity et al., 2006; Oveisity et al., 2009).

(5)(cgE)=fDnE

여기서, EρgH2/8로 정의되는 파 에너지를 의미한다. 일정수심 위를 진행하는 파는 식 (6)과 같이 나타낼 수 있다.

(6)H(x)=H0eikx

여기서, H0는 입사파의 파고를 의미한다. 파의 에너지 감쇠가 있는 경우에는 파수를 복소수 형태(kr+iki)로 표현이 가능하며 따라서 식 (6)은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

(7)H=H1eikrx

여기서, H1(=H0ekrx)은 에너지 감쇠에 의해 줄어드는 파고를 나타내며 복소수 파수의 허수(ki)와 관련이 있다. fD와 관련된 에너지 감쇠율 εD는 다음과 같이 계산되며

(8)εD=ddx(cgE)=cg(2ρgH18dH1dx)=2cgkiE

식 (5)와 비교하면 fD은 다음과 같이 표현됨을 알 수 있다.

(9)fD=2kic

2.2 ki의 산정

Fig. 1과 같이 H0의 파고를 가진 입사파가 길이 w인 에너지 감쇠역을 통과하고 벽면에서 완전반사를 하여 다시 에너지 감쇠역을 지나 H1의 파고를 가지면서 되돌아갈 경우 ki의 값은 식 (7)에 의해 다음과 같이 정해진다.

Fig. 1

Schematic diagram for reflected waves

(10)ki=In(H1/H0)2w=lnCr2w

여기서 Cr은 반사율을 의미한다. 따라서 주어진 경계층의 폭에서 원하는 반사율이 나오도록 식 (10)을 이용하여 ki의 값을 할당하면 스폰지 경계층을 이용하여 파의 부분반사를 처리할 수 있다.

3. 식의 검증

3.1 수치 모형

수치 해를 이용하여 2장에서 유도한 식을 검증하였다. 수치 해는 교호격자(Staggered grid)를 사용하는 유한차분법을 식 (1)~(3)에 적용하여 구하였다. 1차원 수치모형의 차분식은 다음과 같다(Oveisy et al., 2009).

(11)ξit+Δt=ξitΔtΔx1ni[(nQx)i+1t(nQx)it]
(12)(Qx)it+Δt=(Qx)itΔtΔxci2[ξitξi1t]+ΔtfD

여기서, ξ는 자유수면 변위를 의미하며, Q는 유량, g는 중력가속도를 의미한다. 파의 조파 및 경계조건처리는 Lee 등(1998)이 제시한 내부조파 및 스폰지 경계층을 사용하였다. 수치 해를 구하는 과정은 앞서 언급한 두 논문에 자세히 기술되어 있어 여기서는 생략하였다. Fig. 2에서 왼쪽의 스폰지 경계층은 Lee 등(1998)에 기술되어 있는 식을 사용하여 파가 완전히 흡수되도록 하였으며 오른쪽의 스폰지 경계층은 식 (10)을 사용하여 원하는 반사율을 가지는 파가 반사되도록 하였다.

Fig. 2

Computational domain

Fig. 3은 오른쪽 스폰지 경계층의 두께(w)를 달리 하면서 반사율을 계산한 것이다. 수심은 4 m로 하였으며 상대수심이 0.1π가 되도록 주기를 설정하였다. x축은 구하고자 하는 반사 율을 의미하며 y축은 실제로 계산된 반사율을 의미한다. 반사율이 아주 낮은 경우를 제외하곤 대부분의 반사율에 대해서 계산된 값은 구하고자 하는 값과 잘 일치하였다. 반사율이 낮은 경우에는 계산값이 구하고자 하는 값보다 조금씩 컸으나 이러한 오차도 스폰지 경계층의 두께가 증가함에 따라 감소하였다. 식 (10)과 오차를 연관하여 유추해보면, ki의 값이 클수록 오차가 크게 발생하는 것을 알 수 있다. 즉 진행하는 파가 갑작스럽게 큰 에너지 감쇠역을 만나게 되면 경계면에서 파가 반사가 발생하게 되어서 반사율이 크게 산정이 된다.

Fig. 3

Comparison of reflection coefficient for different thicknesses of sponge layer

경계면에서 발생하는 파의 반사를 줄이기 위해 일반적인 스폰지 경계층기법처럼 ki의 값이 0부터 점진적으로 증가하도록 설정해놓고 반사율을 구해보았다. 에너지 감쇠역에서의 감쇠율이 공간에 따라 변하게 되면 식 (7)의 Hi는 다음과 같이 일반화시킬 수 있다.

(13)H1=H0e20wkidx

또는

(14)lnCr2=0wkidx

오른쪽 스폰지 경계층의 시작부분에서 ki의 값이 0의 가지면서 파가 진행하는 방향으로 증가시키기 위하여 다음과 같이 가정하였다.

(15)ki=anxn

여기서, x는 스폰지 경계층 시작시점부터 파가 진행하는 부분으로 측정한 거리를 의미하며 계수 an은 식 (14)에 의해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

(16)an=(n+1)lnCr2wn+1

Fig. 4는 식 (15)를 이용하여 ki 및 반사율을 계산한 그림이다. 4(a)는 반사율을 0.1로 고정하면서 n = 0, 1, 2인 경우에 대하여 ki를 계산한 결과이다. 차수가 클수록 원점 부근에서는 상대적으로 작은 값을 보이지만 멀어질수록 급격한 증가를 보인다. 4(b)는 식 (15)를 이용하여 반사율을 계산하여 이론적인 값과 비교한 결과이다. 스폰지 경계층의 시작부분부터 감소가 크게 발생하는 n = 0인 경우와는 달리 스폰지 경계층의 시작부분에서는 거의 감소가 발생하지 않으면서 점진적으로 에너지 감소가 발생하는 n = 1, 2인 경우에는 계산한 반사율 값이 이론값과 거의 유사하게 나오는 것을 알 수 있다. 여전히 반사율이 아주 작은 경우에는 약간의 오차를 보이고 있으나 그 차이는 거의 미미하였다.

Fig. 4

Comparison for different order of n in Eq. (15): (a) ki for Cr=0.1; (b) reflection coefficients

4. 토의

Gade (1958)에 의하면 진흙층과 같은 에너지 감쇠역을 파가 통과할 때 파고의 감소뿐만 아니라 파장의 변화도 발생한다. 이와 같이 에너지 감쇠역에서 파장의 변화가 발생하게 되면 경계부근에서 반사가 발생하고 에너지 감쇠역 내부에서 군속도 또한 변하게 된다. ki의 값을 일정하게 가정한 경우에는 파가 스폰지 경계층에 들어서면서 갑작스럽게 에너지 감쇠가 발생하며서 동시에 파장의 변화도 발생하게 되는데 본 연구에서는 이와 같은 부분들을 고려하지 않아서 오차가 발생하였을 수 있다. 이에 대한 대안으로 스폰지 경계층 내부에서 ki의 값이 0부터 증가하면서 파고를 감소시켰을 경우에는 오차가 많이 줄어드는 것을 확인하였다.

5. 결론

본 연구에서는 스폰지 경계층 기법을 이용하여 구조물 등의 경계면에서 파랑의 반사율을 제어하는 기법을 제시하였다. Oveisity et al. (2006, 2009)의 연구결과에 의하면 스폰지 경계층과 같은 에너지 감쇠역에서 파랑의 에너지 감쇠는 군속도와 복소수로 표현되는 파수의 허수부분 ki와 관련이 있다. 이와 같은 성질을 이용하여 스폰지 경계층의 폭과 ki를 적절히 조절하여 원하는 반사율을 가지는 파가 반사될 수 있도록 하였다.

첫 번째로 스폰지 경계층 내부에서 ki의 값을 일정한 값으로 고정한 후 스폰지 경계층의 두께나 반사율에 변화를 주면서 반사율을 계산하였다. 스폰지 경계층의 두께가 좁을수록, 반사율이 작을수록 계산결과는 이론적인 값과 차이를 보였다. 두 번째로 스폰지 경계층 내부에서의 ki의 값에 변화를 주면서 반사율을 계산하였다. ki의 값은 스폰지 경계층 시작부분에서는 0의 값을 가지면서 파가 진행하는 방향으로 증가하도록 가정하였다. ki의 값을 일정한 값으로 가정하였을 경우보다는 오차가 많이 줄어들었지만 여전히 반사율이 작은 경우에는 상대적으로 큰 오차를 보였다.

향후 연구 과제로서, 앞서 언급한 에너지 감쇠역에서의 파장의 변화를 모의하여 이를 모델에 적용하는 방법과, 최적의 값을 줄 수 있는 ki의 함수를 구하는 연구가 수행되어야 할 것으로 생각한다.

감사의 글

본 연구는 국민안전처 자연재해저감기술개발사업단(자연피해예측및저감연구개발사업)의 지원으로 수행한 ‘기후변화 적응을 위한 연안도시지역별 복합원인의 홍수 취약성 평가기술개발 및 대응 방안 연구’[MPSS-자연-2015-77]과제의 성과입니다.

References

Lee S.D, Kim M.J. 2014;Effects of Disaster Prevention of a Coastal Forest considering Wave Attenuation Ability. Journal of Korean Society of Hazard Mitigation 14(No. 5):381–388. 10.9798/KOSHAM.2014.14.5.381.
Choi J. 2015;Numerical Study on Rip Current Likelihood according to the Beach Nourishment in the Haeundae Coast. Journal of Korean Society of Hazard Mitigation 15(No. 5):239–246. 10.9798/KOSHAM.2015.15.5.239.
Chun J.H, Ahn K. 2006;Development of a Simplified Treatment Technique of Partial Wave Reflection and Transmission for Mild-Slope Wave Model. Journal of Korean Society of Coastal and Ocean Engineers 18(No. 1):84–96.
Oveisy A, Hall K, Soltanpour M, Shibayama T. 1984;“A two-dimensional horizontal wave propagation and mud mass transport model”. Continental Shelf Research 29(No. 3):652–665. 10.1016/j.csr.2008.09.009.
Oveisy A, Soltanpour M, Shibayama T, Masuya Y. 2006. Numerical and experimental study on 2D horizontal wave propagation over mud bottom. Proceedings of the 30th International Conference on Coastal Engineering, ASCE 1p. 472–481.
Gade H.G. 1958;Effects of a non-rigid, impermeable bottom on plane surface waves in shallow water. Journal of Marine Research 16(No. 2):61–82.
Larsen J, Darcy H. 1983;“Open boundaries in short wave simulations - a new approach”. Coastal Engineering 7(No. 3):285–297. 10.1016/0378-3839(83)90022-4.
Lee C, Park W.S, Cho Y.-S, Suh K.D. 1998;“Hyperbolic mild-slope equations extended to account for rapidly varying topography”. Coastal Engineering 34(3-4):243–257. 10.1016/S0378-3839(98)00028-3.
Suh K.D, Lee C, Park Y.-H, Lee T.H. 2001;“Experimental verification of horizontal two-dimensional modified mildslope model”. Coastal Engineering 44(No. 1):1–12. 10.1016/S0378-3839(01)00018-7.
Lee C, Yoon S.B. 2007;“Internal generation of waves on an arc in a rectangular grid system”. Coastal Engineering 54(No. 4):357–368. 10.1016/j.coastaleng.2006.11.004.
Berkhoff J.C.W. 1976. “Mathematical models for simple harmonic linear water waves, wave diffraction, and refraction”. Ph. D. Dissertation, Delft Hydraulics Laboratory
Isaacson M, Qu S. 1990;“Waves in a harbor with partially reflecting boundaries”. Coastal Engineering 14(No. 3):193–214. 10.1016/0378-3839(90)90024-Q.

Article information Continued

Fig. 1

Schematic diagram for reflected waves

Fig. 2

Computational domain

Fig. 3

Comparison of reflection coefficient for different thicknesses of sponge layer

Fig. 4

Comparison for different order of n in Eq. (15): (a) ki for Cr=0.1; (b) reflection coefficients