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1. 서론

저수지 운영 방안 도출을 위한 모형은 크게 시뮬레이션 모형과 최적화 모형으로 양분할 수 있다(Kong, 2013). 이 중 최적화 모형은 분석 대상이 풀릴 수 있는 수학 모형으로 표현될 수 있을 경우에 한해, 가능한 모든 대안 중 최선의 해를 제공한다는 점에서 유용하다. 이 분야에서는 다양한 최적화 모형이 고려될 수 있는데, 가장 단순한 선형계획법(Linear Programming)과 네트워크 최적화(Network Optimization)모형에서 부터, 보다 복잡한 비선형 시스템을 표현할 수 있는 동적 계획법(Dynamic Programming)이나 비선형 계획법(Nonlinear Programming), 그리고 불확실성을 고려할 수 있는 추계학적 기법(Stochastic Programming), 단일 기준이 아닌 여러 목적을 고려할 수 있는 다기준 의사결정(Multi-criteria Decision Making)모형 등이 활용되고 있다. 이 중 다기준 의사결정기법은 실제 거의 모든 저수지 운영 상황이 다수 목적들 간의 조정이나 타협을 필요로 한다는 사실을 고려할 때 매우 적적한 접근이라 할 수 있다(Loucks et al., 1981).

다기준 의사결정(Multi-Criteria Decision Making)기법은 다시 다요소 의사결정 분석(Multi-Attribute Decision Analysis)과 다목적 계획법(Multiple Objective Programming,) 계열로 분류할 수 있는데, 전자는 댐 입지의 선정과 같은 대안의 수가 많지 않고, 상대적으로 불확실성이 큰 경우에, 그리고 후자는 열등하지 않은, 파레토 최적해(Pareto-optimal solution)의 도출을 목적으로, 댐 저수량이나 방류량 결정과 같이 무수히 많은 가능해가 존재하는 문제에 활용하는 것이 적합하다(Steuer, 1986).

한편, 댐 군 연계 문제에서는 홍수 조절과 더불어 이수관점의 다양한 목표를 고려하여 유입량 및 저수량 조건을 고려해서 최적의 방류량을 결정하는 것을 목적으로 한다. 따라서 이 문제에는 단일 목적이 아닌 다수의 목적이 고려되고, 결과적으로 다목적 계획법이 유용하게 활용될 수 있다. 댐 군 연계운영을 위한 다목적 계획 모형의 적용 사례를 찾아보면, 목적들 간의 우선순위나 가중치에 대한 정보의 유무에 따라 다소 다른 방식을 취하고 있다(Cohon and Marks, 1975). 이 중 댐운영 문제의 경우 가중합계법(Weighted--Sums Method), 제약 조건 방식(Constraint Method), 목표 계획법(Goal Programming), 또는 대화형 다중목적 계획법(Inter-active Multiple Objective Programming)이 보다 많이 사용되어 왔다.

Zadeh (1963)에 의해 초기 형태의 개념이 제시된 가중합계법은 각 목적별로 음이 아닌 가중치를 부여하여 합하고 이 목적을 최적화하여 파레토 최적해를 찾는 방법으로, 초기 가중치를 알 수 있는 경우에 잘 적용되는 반면, 고려되는 목적함수가 3개 이하 수준일 때 적당한 편이다(Cohen and Marks, 1975). Goulter and Catensson (1988a)은 스웨덴 Svarta River의 관개 용수 배분을 위해 혼합정수계획 모형을 제시하고, 이모형을 근간으로 하여 가중합계법을 이용하여 관개, 도심 용수 공급, 그리고 수력 발전의 목적을 고려한 운영 방안을 도출했다.

제약 조건 방식(Marglin, 1967)은 가중합계법과 더불어 가장 손쉽게 선택되는 모형이다. 이 방법은 하나의 목적함수만 남겨두고 나머지 목적을 특정한 목표치를 가진 제약식으로 고려하는 방식을 따른다. 이는 수학적으로 보면 가중합계법과 밀접한 관계가 있으며, 가중합계법과 마찬가지로 목적함수가 3 개 이하 수준일 때 적합다다. Yeh and Becker (1982)의 연구는 이의 대표적인 사례가 될 수 있는데, 그 연구에서는 CVP의 댐 운영 문제를 선형 계획 및 동적 계획의 결합 모형으로 모형화하고, 여기에 제약 조건 방식을 적용하여 댐 운영 방안을 도출하였다.

목표 계획법의 경우 각 목적의 목표치를 사전에 정해 줘야한다는 전제 조건이 있다. 그러나 목적함수의 목표치를 직접 고려할 수 있다는 점에서 큰 이점이 있다. 대표적인 사례로, Can and Houck (1984)은 미국 Green River 시스템에 대하여 4개의 다목적 댐에 대한 실시간 운영을 위한 모의실험의 최적화 수단으로 선취형 목표 계획모형을 개발하여 기존의 선형계획 모형인 Green River Basin Optimization Model과 비교하고, 대상 수계에서 목표 계획 기법의 우수성을 입증하였다. 아울러, Goulter and Catensson (1988b)는 스웨덴 Lake Sommon을 대상으로 하여, 목표 저수량 대비 계획 저수량의 초과 또는 부족분을 최소화하는 목표 계획 모형을 제시하였다. 그리고 Mohen and Keskar (1991)은 인도 Bhadra 저수지에 대해 수력발전 및 농업용수 공급을 함께 고려한 동적 계획법을 제시했다. 한편, Eschenbach 등 (2001)은 TVA 댐 운영문제에 최소 방류 요구량, 댐 저수위, 그리고 수력 발전의 순회피 운영비와 같은 다수의 목적을 고려한 선취형 목표 계획모형을 제시하였는데, 매우 다양한 목적을 유연하게 고려했다는 점에서 실용적으로 주목할 만한 사례라 할 수 있다.

한편, 대화형 다중 목적 계획법의 경우 의사결정자와의 반복적인 피드백을 수반한다는 단점이 있지만, 앞서 설명한 방법들에 비해서는 사전에 요구하는 정보가 적다는 장점이 있다. 즉, 가중합계법에서 요구하는 목적함수 가중치, 제약 조건방식에서 요구하는 목적함수 목표치 등이 필요하지 않으며, 목표계획법과 같이 임시 변수나 제약식을 추가할 필요도 없다. 이와 관련한 연구로, Haimes and Hall (1975)는 제약 조건 방식을 통해 파레토 최적해 집단을 도출한 후, 각 후보 해들에 대해 댐 운영자가 선호도를 평가하고, 이를 기초로 가장 선호하는 해를 선택하는 Surrogate Worth Trade-off Method를 제시했다. 또한 Ko et al. (1992)은 동적 계획 모형을 활용한 한강 수계 댐 군 연계운영 모형을 제시하고, 이 문제를 대상으로 하여 가중합계법, 제약 조건방식, 목표 계획법, 타협계획법 등 여러 다중 목적 계획법을 적용하고 그 결과를 비교 분석하였다. 그리고 El Magnanti and Treichel (1994)은 개별목적에 대한 의사결정자 주관적인 선호도를 선형 구획화한 함수로 나타내는 방법으로 지표수 관리 문제를 수식화하고, 이를 목적함수에 반영한 다중 목적계획 모형을 소개하였다. Agrell et al. (1998)은 Steuer와 Choo (1983)에 의해 개발된IWTP (Interactive Weight-ed Tchebycheff Procedure)를 활용해서, 각 파레토 최적해에 대한 의사결정자의 주관적인 선호도를 피드백 받아 이를 최종 대안 선택에 반영하는 과정을 통해 캐나다의 Shell-mouth 저수지 운영문제를 해결하였다.

본 연구에서는 Kim and Kim (2006)에 의해 제시된 다중목적계획 모형인 CBITP를 실제 저수지 군 연계운영 문제에 적용할 수 있도록 일부 수정한 절차를 제시하고, 그 활용성과를 확인해 보고자 하였다. 이 모형은 매우 균일한 파레토 최적해 집단을 도출함으로써 의사결정자에서 많은 선택의 폭을 제공할 수 있는 특징이 있는데, 이를 저수지 군 연계운영 문제에 적용할 경우에도 유사한 효과가 있음을 확인하고자 하였다.

본 연구의 이후 구성은 다음과 같다. 먼저 2장에서는 저수지군 연계 운영 모형으로 활용하는 CoWMOM의 개념과 저수지 군 연계운영 문제에 적합하게 수정된 CBITP의 절차를 제시한다. 아울러 3장에서는 실제 문제를 대상으로 한 모형활용방안을 제시하고, 4장에서는 낙동강 수계를 대상으로 한모형 적용 결과를 설명한다. 그리고 마지막 5장에서는 결론 및 추후 연구 과제를 제시한다.

2. 연구방법

2.2 CBITP

CBITP는 Kim and Kim(2006)에서 제시된 방법으로, 다음과 같이 정의된 Convex Hull of Individual Maxima (CHIM)의 개념에 기초한다. CHIM을 정의하기 위해 먼저 개별 f_i(x)함수를 최적(최대)화하는 해, x_i*를 이용해서 Z_i* = F(x_i*), i = 1,…,k를 구한다. 이때 행렬의 i열을 Z*−Z_i*로 구성하는 보상행렬(Payoff matrix) φ를 이용해서 다음과 같은 CHIM을 정의할 수 있다.

(CHIM): {Z*−φβ|β∈B}

(1)단, B={β|β∈Rk,∑i=0kβi=1,βi≥0}

Figure 1은 CBITP의 개념을 도시한 것이다. 즉, 먼저 CHIM위에 균일하게 분포된 점(예: Z˜a)들을 구한 후 CHIM에 준 직교 방향의 벡터와 초평면 (hyperplane), z_i = z_i*, i = 1,…,k과의 가장 가까운 교점(예: Z¯a)을 찾는다. 그리고 이들 교점들을 이상점으로 삼아 최선의 해를 찾아가는 개념이다. 그러나 이 방법을 저수지 운영 문제에 적용하기 위해서는 원래의 알고리즘을 그대로 사용하는 것보다 단순화하는 것이 바람직하다. 이는 원 알고리즘이 비선형 문제에도 적용될 수 있도록 매우 범용적으로 설계된 관계로, 댐 운영 문제에는 불필요한 복잡한 과정이 포함되어 있기 때문이다. 즉, 본 연구에서 활용하는 저수지 운영 모형인 CoWMOM은 비선형 함수를 직접 고려하지 않기 때문에 원래의 알고리즘에서 고려한 비선형 특성을 고려한 복잡한 과정들을 굳이 적용하지 않아도 무방하기 때문이다. 그리고 무엇보다도, 원 알고리듬이 자동으로 탐색 범위를 조정하는 것과 달리 저수지 운영 과정에 서서 댐 운영자가 자신의 의견을 반영하는 것이 보다 바람직하기 때문이다. 따라서 저수지 운영 문제에 적합하도록 일부 절차를 수정하였다. 세부 절차는 다음과 같다.

Fig. 1

Illustration of how CBITP works

단계 1. CHIM 구성

개별 목적함수 f_i(x), i = 1,…,k를 최대화하는 x_i*를 찾아 Z_i*(=F(x_i*)), i = 1,…,k와 이상점 Z*를 구한다.

단계 2. 참조점 집합의 구성

단계 2.1 h = h+1,

(2)B(h)={β∈Rk|βi∈[li(h),li(h)],∑i=1kβi=1}

이때 β_i는 [li(h),li(h)+δ,…,ui(h)]의 원소값들을 취하고, li(h) 와 ui(h) 는 각각 0과 1이다.

단계 2.2 단계 2.1에서 구한 벡터 β에 대해 Z*−φβ를 통해 CHIM상에 균일하게 분포된 점들을 구한다.

단계 2.3 CHIM에의 준직교 벡터 n^ 를 φe로 정의한다.

단계 2.4 단계 2.2에서 구한 복수의 점들 (Z˜) 에 대해 식 (3)을 이용해서 참조점(Z¯)을 구한다.

(3)Z¯(β)=Z*−ϕβ+γ⋅n^

이때 γ=mini((ϕβ)(i)n^i)

그리고(φβ)(i)는 φβ의 i번째 원소

위 식에서 γ는 CHIM상의 점에서 Z*까지 n^ 방향의 가중 체비셰프 거리(weighted Tchebycheff distance)를 의미한다.

단계 3. 파레토 최적해 도출

단계 3.1 모든 참조점을 각각 적용해서 문제 (4)를 풀어 파레토 최적해를 구하고 의사결정자에게 복수의 파레토 최적해를 제공한다.

min{a−ρ∑i=1kzi}

(4)s.t.  a≥λi(z¯i(β)−zi),i ≤ i ≤ k,fi(x)=zi,                    i ≤ i ≤ k,x∈S                                            

단, ρ는 아주 작은 상수값이고

λi=1ai[∑i=1k1al]−1,ϕe=(a1a2...ak)T

단계 3.2 의사결정자는 복수의 파레토 최적해 중 가장 선호하 는 해를 선택하고 그 해를 Z¯(h) 값으로 정한다.

단계 3.3 단계 3.2에서 선택된 Z¯(h) 에 만족하면 그 해를 최종 파레토 최적해로 선택하고 수행 절차를 종료한다. 그렇지 않은 경우 단계 4를 수행한다.

단계 4. 탐색 범위 설정

다음 반복 수행에서 탐색하고자 하는 범위를 설정한다. 2개의 목적을 갖는 저수지 운영을 위해서는 앞서 선택한 선호해 주변으로 가장 가까운 2개의 목적함수 벡터를 Z_i*(=F(x_i*))로 설정함으로써 탐색 범위를 제한한 후, 단계 2로 이동한다.

3. 낙동강 수계 저수지 군 연계 운영을 위한 다목적 계획 모형

3.1 분석 대상

분석 대상은 Figure 2에서 보는 바와 같이 낙동강 수계의 송리원, 안동, 임하, 보현, 영천, 운문, 밀양, 합천, 남강의 9개 댐, 그리고 4대강 사업 이후 추가된 상주, 낙단, 구미, 칠곡, 강정, 달성, 합천, 함안보를 고려하였다.

Fig. 2

Schematic Diagram of Nak-dong river basin

3.2 분석 방법

CBITP는 단일 목적의 최적해를 도출하는 모형이 아니고, 내부적으로 최적화 엔진을 반복적으로 수행하여 파레토 최적해 집단을 구하는 모형이다. 즉, 본 연구에서 제시하는 저수지군 연계운영을 위한 CBITP에서는 문제 (4)의 유효해 집합 S로는 CoWMOM의 제약식을 그대로 적용하여 실행 가능한 저수지군 연계 운영 방안을 도출할 수 있도록 하였다. 즉, CBITP의 모든 해는 CoWMOM의 제약조건 하에서 수행되며, 여기에 CBITP가 적용됨으로써 균일한 파레토 최적해 집단이 생성되는 것이다.

본 연구에서는 저수지 운영의 다중목적으로 저수량과 주요 지점의 수질을 고려하고자 하였으며, 이를 위해 우선 CoWMOM에서는 전체 저수지 저수량과 주요 지점의 흐름량을 목적함수에서 고려하고, 사후에 수질을 계산하는 방법을 사용하였다. 즉, CBITP 및 CoWMOM의 연계 활용을 통해 도출된 주요지점의 방류량을 반영한 사후 수질 계산을 통해 수질 값을 계산하였다.

수질 계산의 경우, 단순 혼합(blending)을 통해 계산하였으며, Figure 3은 이의 설명을 위한 것이다. 즉, 지점 S에 오염물질 A가 P_a3만큼, 오염물질 B가 P_b3만큼 포함되어 있는 상황에서, X₁가 자체적으로 유입되고, 상위시설의 방류에 의해 X₂만큼 추가 유입이 있는 상황을 상정한 것이다. 이때 X₁에는 오염물질 A가 P_a1만큼, 오염물질 B가 P_b1만큼 포함되어 있고, X₂에는 오염물질 A가 P_a2만큼, 오염물질 B가 P_b2만큼 포함되어 있다. 그러면, 상류시설의 방류에 의한 최종적인 S지점의 오염 물질 A와 B의 농도는 각각 다음과 같이 근사할 수 있다. 이때 상수 k_A와 k_B는 단위기간 동안에 저감되는 오염물질 A와 B에 대한 저감율 상수다.

Fig. 3

Concept of blending of pollutant

(5)kA(Pa1X1+Pa2X2+Pa3X3)/(X1+X2+X3)

(6)kB(Pb1X1+Pb2X2+Pb3X3)/(X1+X2+X3)

4. 모형 적용 결과

실제 댐 운영 상황을 고려하기 위해 낙동강 수계를 대상으로 하여, 2010년 6월의 수문 조건을 입력하여 모형을 수행하였다. CBITP에서 고려하는 목적으로는 전체 댐 저수량, 그리고 인근 인구 밀집 지역과 공업단지로 인하여 수질 관리의 필요성이 큰 달성보 지점의 흐름량을 고려하였다. 그리고 CBITP를 통해 도출된 파레토 최적해에 해당하는 달성보 지점의 흐름량과 기존의 수문정보를 식 (5)와 식 (6)에 입력하여 각 파레토 최적점에 대한 달성보 지점의 수질 값을 추정하였다.

한편, 도출되는 파레토 최적해의 수가 10개가 되도록 식 (2)의 δ를 1/9로 설정하였으며, CoWMOM의 최적해 도출을 위한 엔진으로는 ILOG CPLEX(2000)를 활용하였다.

Figure 4는 CBITP의 수행 결과를 도시한 것이다. 그림에서 가로축의 값은 달성보 지점의 평균 BOD이고, 세로축은 각 댐 평균 저수량의 총합을 나타낸 것이다. 이를 보면, 저수량이 높아질수록, 즉 방류량을 줄일수록 평균 BOD가 증가함을 확인할 수 있다. 특히 본 연구에서 관심을 갖고 있는 파레토 최적해 집단의 분포의 특성을 보면, 완전한 균일성을 유지하지는 않지만 비교적 어느 한 쪽에 치우치지 않고, 잘 분포되어 있음을 확인할 수 있다. 댐 운영자는 여기서 나타나는 수량과 수질 간의 관계를 고려하여 적절한 해를 선택하면 된다.

Fig. 4

Results of 1^st iteration of CBITP

한편, 이 결과는 전체적인 상황을 보여주는 의미는 있지만, 실제 댐 운영 상황에서는 보다 더 많은 파레토 최적해들을 토대로 세밀한 판단을 하는 것이 바람직하다. CBITP는 기본적으로 반복적인(iterative) 수행을 지원하며, 의사결정자가 선택한 최선의 해를 중심으로 순차적으로 해 공간을 축소시킬 수 있다. 가령, 평균 BOD를 2.0수준 이하에서 가능한 많은 저수를 하고 싶다고 가정하자. 즉, 댐 운영자가 빨간 원으로 표시한 결과를 선택했다고 하자. 그러면, 이 결과 양쪽의 두 결과를 벗어나는 영역은 탐색할 필요가 없음이 자명하다. 따라서 이 둘을 경계로 하여 다음 반복(iteration)의 탐색을 진행하면 된다. 즉, 선호해 양쪽에 위치한 두 개의 결과를 이용하여 단계 1의 Z_i*(=F(x_i*))값을 설정한다. 결과적으로 선호해 양쪽에 위치한 두 점이 다음 반복에서의 탐색을 위한 경계가 되어, 이 두 점 사이의 구간만을 탐색하게 된다. 본 연구의 경우, CBITP가 2개의 목적, 즉 전체 댐 저수량과 달성보 지점의 수질을 고려하므로 빨간원으로 표시된 파레토 최적해 양쪽의 두 목적값 벡터가 각각 Z₁*과 Z₂*가 된다.

Figure 5는 CBITP의 두 번째 반복에서 도출된 결과를 도시한 것이다. 이 결과를 보면, 첫 번째 반복에서 설정한 경계를 토대로 BOD 2.0 수준에 근접한 더 많은 파레토 최적해들을 확인할 수 있다. 또한, 이전 반복과 마찬가지로 파레토 최적해 집단이 매우 균일하게 도출되었다. 이제 댐 운영자는 10개의 파레토 최적해 중의 하나, 예를 들면 평균 BOD를 2.0 이하로 유지하면서 저수량을 최대화하는 해(원으로 표시)를 선택하는 것도 가능하다. 이 과정은 의사결정자가 만족할만한 대안이 도출될 때까지 반복 가능한데, 대개 2-3회 정도만으로도 탐색 범위가 매우 좁혀져서 어느 정도 원하는 대안으로 수렴할 수 있다.

Fig. 5

Results of 2^nd iteration of CBITP

5. 결론

본 연구에서는 Kim and Kim (2006)에서 제시된 다중 목적계획 모형인 CBITP를 실제 저수지 군 연계운영 문제에 적용할 수 있도록 일부 수정한 절차를 제시하였다. 그리고 제시된 절차를 댐 저수량, 그리고 주요 지점의 수질을 모두 고려한 다중목적 저수지 군 연계운영 문제에 적용한 결과, 매우 균일한 파레토 최적해 집단이 도출됨을 확인하였다. 즉, 수계 운영자에게 보다 많은 선택의 폭을 제공하여 더 나은 운영을 지원할 수 있을 것으로 기대된다.

한편, 본 연구에서는 수질을 직접 고려하는 대신, 우선 물량을 고려한 운영을 한 후, 여기서 도출된 결과를 토대로 오염물질 혼합(blending) 개념을 통한 수질 계산을 하고, 이를 토대로 한 파레토 프런티어를 도시하였다. 그러나 이렇게 함으로써 댐 저수량과 수질 값을 두 축으로 고려한 파레토 프런티어가 완전히 균일하게 분포되지 못한 측면이 있었다. 따라서 향후 연구에서는 수질을 직접 고려하면서 파레토 최적해를 도출할 수 있도록 모형을 개선할 필요가 있다. 즉, 본 연구에서 적용한 낙동강 수계의 경우, 수질을 직접 고려하는 대신 물량을 통해 간접적으로 고려하는 방법을 통해서도 댐 저수량과 수질 간의 상충 관계를 파악할 수 있었으나, 최적화 과정에서 수질을 직접 계산하고 이를 고려한 CBITP를 수행할 경우 파레토 최적해 집단의 균일성 측면에서 더 나은 결과를 도출할 수 있을 것으로 기대된다.

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