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J. Korean Soc. Hazard Mitig. > Volume 16(6); 2016 > Article
구조물 변형 형상 추정 정밀도 향상을 위한 변위 계측 위치 선정 연구

Abstract

Various sensors are deployed to measure structural responses, such as strain, acceleration, and displacement, for structure integrity monitor. Structural displacement is one of the most important physical quantities to analyze structural conditions. Measuring displacement, however, is difficult and costly compared to measuring other responses. Thus, the number of displacement measuring locations are limited. In a previous paper, the SFSM-LS method is suggested for estimating a structure deformed shape using a limited amount of displacement data. The estimation accuracy of SFSM-LS is altered according to measurement locations, so measurement locations should be optimized. In this paper, the EI-SF method for determining displacement measurement points was proposed. EI-SF method was coupled with SFSM-LS to analyze accuracy of estimated deformed shapes, and parametric studies were carried out to analyze characteristics of EI-SF. Also, the effectiveness of the method was validated by comparing the estimation accuracy with conventional methods.

요지

구조물의 건전도 모니터링을 위해서 다양한 센서를 통해 구조물의 거동응답을 계측하고 있다. 이중에서도 구조물 변위 응답은 구조물의 거동 해석에 있어 가장 중요한 물리량이라고 할 수 있다. 하지만 변위를 계측하는 것은 다른 응답을 측정하는 것보다 어렵고 많은 비용을 필요로 때문에 측정 할 수 있는 개소가 한정적이다. 기존 연구 문헌에서 제한된 계측 개소를 이용하여 구조물의 형상을 추정하기 위한 SFSM-LS 기법이 제시 된 바 있다. 그러나 변위 계측 위치에 따라 형상 추정 정밀도가 변화하기 때문에 변위 계측 위치선정 최적화의 필요성을 제시하고 있다. 본 연구에서는 한정된 변위 정보를 이용하여 정밀한 구조물 거동 형상을 추정하기 위한 변위 계측 위치 선정 기법인 EI-SF기법을 제시하였다. 추정 형상의 정밀도 분석을 위해 EI-SF와 SFSM-LS을 연동하였으며, EI-SF기법의 특성을 분석하였다. 또한 기존 위치 선정 기법과의 비교 연구를 통해 EI-SF의 효율성을 입증하였다.

1. 서론

노후화된 구조물과 대형 구조물이 증가함에 따라 구조물에 대한 상시 거동 모니터링의 중요성이 증가하고 있으며 이를 위해 구조물의 거동을 실시간으로 측정하고 있다. 주로 구조물의 가속도, 변형률, 변위 응답을 측정하여 구조물의 현재 상태를 분석한다. 다양한 구조물의 응답 중 변위를 측정하게 되면 정적·동적의 모든 응답을 측정 할 수 있다는 장점이 있다. 높은 정밀도로 대형 구조물의 거동평가를 실시간으로 수행하기 위해서는 최대한 많은 수의 계측기를 설치하는 것이 평가 결과의 정확도 향상에 기여할 것이다. 하지만 변위 측정 장비의 가격이 비싸고 측정 장비의 설치가 어렵기 때문에 구조물에서 측정할 수 있는 변위 계측 개소는 매우 한정적이다. 이와 같은 이유로 구조계의 거동을 대표할 수 있는 최적의 변위 계측 위치 선정 기법이 필요하다.
최적 센서 위치 결정법에 관한 연구는 크게 Fisher Information Matrix(FIM)이라 불리는 통계학적 수학기법을 사용하여 최적 센서 위치를 결정하는 것과 그렇지 않은 것 두 가지로 분류 할 수 있다(Kown, 2006; Kown and Shin, 2006). Fisher (1971)가 통계학적 기법을 이용한 FIM이라는 기법을 개발 하였으며, 공학 분야에서 FIM이 이용되기 시작한 것은 Goodwin and Payne (1977))이 이용하면서 부터이다. Udwadia (1994) 논문에서는 FIM이 최대가 될 때 최소의 분산을 가지므로 이를 이용하면 가장 적절한 센서 위치를 식별할 수 있다고 제안하였다. 이후 Kammer (1991; 1996)는 센서 위치를 결정하는데 있어서 진동모드의 선형독립성에 기초를 둔 유효독립(Effective Independence, EI)기법을 통해 목적한 모드를 포함하는 독립정보(independent information)의 기여도가 낮은 위치를 제거해나가는 과정을 반복해서 센서 위치를 선정하는 방법을 제안하였다. Penny et al, (1994)는 Guyan Reduction방법과 FIM기법을 근거로 하여, Guyan Reduction 방법과 유효독립분포(Effective Independence Distribution Vector, EIDV)를 병행하는 것이 좋은 결과를 도출한다고 밝혔다. 또한 Meo (2005)는 현수교를 대상으로 다양한 센서 위치 선정 기법을 비교하여 효과적인 센서 위치 결정 방법을 연구하였다. 하지만, 이러한 방법들은 구조물의 진동 특성을 분석하기 위한 목적으로 가속도 센서 설치를 위한 위치 최적화 연구로 본 연구가 대상으로 하는 변위 계측 위치 선정과는 차이가 있다.
변위 계측 위치 선정을 위한 연구로는 Kim (2005)이 있으나 변위 함수를 다항식으로 가정함으로써 단순보 및 켄틸레버 구조물에만 적용이 가능하고 복잡한 구조물에는 적용이 불가능하다는 단점이 있다.
본 연구에서는 구조물의 변형 형상 추정을 위한 변위 계측 최적 위치 선정 기법을 제시하였다. 변위 계측 정보로부터 구조물의 변형 형상을 추정하는 방법(SFSM-LS)은 Choi et al, (2012) 연구에서 제시된바 있다. Choi et al, (2012) 연구에서는 한정된 계측 변위를 이용한 전체계 구조물 거동 형상 추정을 위해 구조형상함수들을 가정하고 변위 계측 위치, 구조형상 함수에 따른 형상 추정 정밀도 분석 연구를 수행하였다. 정밀한 거동 형상 추정을 위해서는 변위 계측 위치의 최적화가 필요하다고 제시하고 있다.
이에 따라 본 연구에서는 Choi et al, (2012)이 제안한 형상 추정 기법과 연동하여 구조형상함수를 이용한 계측위치 선정법인 EI-SF (Effective Independence-Shape Function)기법을 제시하였다. 수치 해석 모델을 통해 EI-SF기법을 검증하고, 기존 변위 계측 위치 선정 방법과의 비교 연구를 통해 EI-SF기법의 타당성과 효율성을 입증 하였다.

2. 구조물 형상 추정 알고리즘

일반적인 구조해석은 구조물 각 자유도에 작용하는 하중과 구조물의 강성 행렬을 통해 각 자유도의 변위를 계산하게 된다. 계산된 변위를 이용하면 구조물의 내력, 가속도, 변형률 등 다양한 구조물의 반응을 계산할 수 있다. 이와 같이 실제 운영 중인 구조물에서도 구조해석 모델의 자유도만큼 변위를 계측할 수 있다면 구조물의 다양한 반응을 추정하는 것이 가능할 것이다. 하지만 실제로 운영 중인 구조물에서는 측정조건의 한계로 인해서 계측 할 수 있는 자유도의 개수는 한정적이다. 이러한 한계를 극복하고자 한정된 계측 변위를 이용한 구조물의 추정형상 방법인 SFSM-LS알고리즘이 제시되었다(Choi et al, (2012)).
구조물의 거동 형상(S̄)은 구조물이 거동 할 수 있는 여러 개의 거동 형상이 중첩된 것으로 표현 할 수 있으며, Eq. (1)과 같다.
(1)
S¯=α1ϕ1+α2ϕ2++αnϕn=i=1nαiϕi
여기서, S̄: 구조형상함수의 중첩형상, ф1:구조형상함수, α1:구조형상함수 가중치, n:고려된 구조형상함수의 개수를 의미한다. 또한 구조물의 자유도는Ndof개 이고, 이에 따라ф1Ndof행렬이다.
실제 구조물에서 계측된 지점의 변위 행렬Fj와 구조형상함수(S̄)중 변위 측정 지점에서와 동일한 자유도의 변위만으로 재구성된 행렬(S)의 오차는 Eq. (2)와 같이 구성할 수 있다.
(2)
Error=j=1m(FjSj)2
Eq. (2)의 오차를 최소화 할 수 있는 구조형상함수 가중치를 산정하고, 산정된 구조형상함수 가중치를 Eq. (1)에 대입하면 한정된 수의 계측 변위로부터 구조물 전체 자유도의 변위를 계산 할 수 있다.

3. 변위 측정 위치 선정 알고리즘(EI-SF)

유효독립(Effective Independence, EI)기법은 모드형상의 선형독립성에 기초한 방법으로 목적한 모드형상에 독립정보의 기여도가 낮은 위치를 제거해나가는 방법이다(Kammer, 1991). 유효독립기법에 진동형상을 이용하여 다음의 Eq. (3)와 같은 Fisher Information Matrix(F)를 정의 하였다.
(3)
F=ΨTΨ
여기서, ψ는 모드형상으로 이루어진 행렬이며 다음의 Eq.(4)로 정의된다.
(4)
Ψ=[Ψ1Ψ2Ψu]
여기서, ψu의 크기는ω × 1, ψ의 크기는ω × u이다. u는 고려된 모드형상의 개수, w는 모드형상의 자유도 수를 의미한다. 그러므로, Eq. (3)의 크기는 u × u이다.
F의 진동형상에 대한 유효독립성을 최대화하기 위하여 다음의 Eq.(5)와 같이 E행렬을 정의 하였고 Eq. (5)의 대각행렬인 EI행렬을 다음의 Eq. (6)와 같이 정의 할 수 있다.
(5)
E=Ψ[ΨTΨ]1ΨT
(6)
EI=diag(E)=diag(Ψ[ΨTΨ]-1ΨT)
E는Ndof×Ndof이며, EI는w × 1행렬이다. Eq. (6)의 EI 행렬 값 중 최소값들을 순차적으로 제거하면서 남은 값의 개수가 센서 개수가 될 때 남아있는 값들의 자유도 위치를 최적의 센서 위치로 결정하게 된다. 즉, EI값 중 최대값을 나타내는 위치부터 순차적으로 센서 개수만큼의 위치를 선택하여 그 위치들을 센서 설치 위치로 결정한다.
본 연구에서는 유효독립(EI)기법과 SFSM-LS 알고리즘을 연동하여 변위 계측 위치 최적화를 위한 기법을 제시하였다. 이를 위해 기존 EI행렬에 모드형상 대신에 구조형상 함수를 적용하여 EI-SF(Effective Independence-Shape Function)기법을 제시하였으며, 다음의 Eq.(7)와 같다.
(7)
EISF=diag(Φ[ΦTΦ]-1ΦT)
여기서, Φ = [φ1 φ2… φn]와 같으며, Eq. (7)를 통해 EI-SF값이 계산된다. EI-SF값을 이용한 센서 위치 선정 방법은 EI값을 이용한 센서 위치선정 기법과 동일하다.

4. 수치 해석 검증

4.1 해석 검증 방법론 및 모델 조건

본 연구의 최종 목표는 정밀한 추정 형상을 도출하기 위한 합리적인 변위 계측 위치를 선정하는 것이다. 이를 위해 다음 Fig. 1과 같은 과정으로 알고리즘을 검증하였다.
Fig. 1
Verification Flow Chart.
KOSHAM_16_06_289_fig_1.gif
우선 검증대상 모델을 선정하고 FE모델을 구성하였다. 구성된 FE모델을 이용하여 구조형상함수들을 구성하며, 구성된 구조형상함수들은 변위 계측 위치 선정과 구조물 형상 추정에 사용된다. EI-SF기법을 통해 변위 계측 위치를 선정하고 선정된 변위 계측 위치를 이용하여 구조물 형상을 추정하였다. 실제 형상과 추정된 형상의 오차를 Eq. (8)과 같이 평균절대값퍼센트 오차(Mean Absolute Percentage Error)로 수치화하여 추정 결과의 정밀도를 표현하였다.
(8)
MAPE(%)=1Ndofi=1Ndof|uireuiesuire|
여기서, Ndof는 구조물 전체 자유도, uire는 실제 형상의i자유도에서의 변위, uies는 추정형상의i자유도에서의 변위를 의미한다.
해석 대상 모델은 다음 Fig. 2과 같이 각 50m의 경간을 갖는 2경간 연속보 모델을 선정하였다. 총 41개의 절점과 40개의 요소로 이루어져 있으며, 단면 제원은 Table 1과 같다.
Fig. 2
Verification Model.
KOSHAM_16_06_289_fig_2.gif
Table 1
Model Properties.
I L  Young’s Modulus 
 2.9 m4  100 m  210 GPa
2경간 연속보의 다양한 변형 형상에 대한 알고리즘의 적용성을 분석하기 위해 Fig. 3과 같은 거동 형상을 선정하였다. DS1의 경우 하중이 좌측경간의 중앙부 작용할 경우, DS2는 하중이 우측경간의 중앙부에 작용할 경우 그리고 DS3는 좌측 경간 중앙부와 우측경간 중앙부에 각각 다른 하중이 작용했을 경우이다.
Fig. 3
Deformed Shape Cases.
KOSHAM_16_06_289_fig_3.gif
구조형상 함수는 구조물의 다양한 거동 형상을 반영하기 위해 총 41개의 절점 중 경계조건인 3개의 절점을 제외한 38개의 절점에 단위 하중을 재하하고 이때의 형상을 구조형상함수로 고려하였다. 고려된 총 구조형상함수는 38개로(SF 1~SF 38) Fig. 4에 구조형상 함수 중 6개의 구조형상 함수에 대응하는 형상을 나타내었다.
Fig. 4
Examples of Structural Shape Functions.
KOSHAM_16_06_289_fig_4.gif

4.2 변위 측정 개수 결정

Fig. 5는 고려된 구조형상 함수의 개수에 따른 EI-SF값을 나타내었다. Fig. 5의 각 case 1, case 2, case 3, case 4는 각각 구조형상 함수가 2개, 3개, 4개, 6개가 고려되었을 때의 EI-SF값을 나타낸다. 각 그래프에서의 EI-SF값의 첨두값이 나타나는 지점이 변위 계측 지점으로 선정된다. Fig. 5에서 확인 할 수 있듯이 구조형상함수가 2개 사용되었을 때는 2개의 첨두값, 구조형상함수가 6개 사용되었을 경우에는 6개의 첨두값이 나타난다. 즉, 고려된 구조형상함수에 의해서 EI-SF값의 분포형태가 결정되며, 결정되는 EI-SF값의 첨두값의 개수는 고려된 구조형상함수의 개수만큼 발생함을 확인 할 수 있다. 따라서 본 연구에서 제안한 EI-SF기법은 고려되는 구조형상함수의 개수에 따라 첨두값의 수가 결정되며, 이는 바꿔 말하면 변위 계측 개소가 결정되면 그에 따라 고려되어야 하는 구조형상함수의 수가 결정됨을 의미한다. 일반적으로 실제 구조물에서 변위 계측 위치를 결정할 때 비용적인 측면으로 인해서 변위 계측 개소가 결정되고 결정된 개소 내에서 변위 계측 위치를 결정하게 된다. 이러한 측면을 고려했을 때 본 연구에서 개발한 EI-SF기법이 충분히 활용 가능하리라 판단된다.
Fig. 5
EI-SF Values.
KOSHAM_16_06_289_fig_5.gif

4.3 구조형상 함수에 따른 측정 위치 선정

앞서 서술하였듯, 변위 계측 위치선정을 위해서는 먼저 변위 계측 개소를 결정하고 변위 계측 개소 수만큼의 구조형상함수를 고려해야 한다. 이에 따라 본 연구에서는 변위 계측 개소와 구조형상함수 간의 연관성을 분석하였다.
Fig. 6과 같이 총 3가지 경우의 변위 계측 개소에 따른 계측 케이스를 선정하였으며, 경간 당 계측 개소가 각 1개, 2개, 3개인 경우이다. Fig. 6에서 나타난 각 위치는 구조형상함수 생성을 위한 단위하중 재하위치를 의미한다. 즉, 계측 개소가 경간 당 1개인 경우는 중앙 지점을 대칭으로 단위하중을 재하하여 구조형상 함수를 생성하였고, 계측 개소가 2, 3개인 경우는 각 경간의 중앙을 기준으로 단위하중을 재하 하여 구조형상함수를 생성하였다. 각 계측 모델은 S/L로 지수화 하여 표현하였다.
Fig. 6
Displacement Measurement Cases.
KOSHAM_16_06_289_fig_6.gif
Table. 2는 각 변위 측정 경우에 따라 선정된 변위 측정 위치는 나타내고 있으며, 숫자로 표시된 위치는 Fig. 2의 절점 번호이다. 변위 계측 위치는 구조형상함수에 따라 완전히 다른 위치가 도출되는 것이 아니라 구조형상함수에 따라 특정 지점 위치에서 결정되는 것을 확인 할 수 있다.
Table 2
Displacement Measurement Locations.
 Model Case   S/L   Displacement Measurement Location 
DM1 DM1-1 0.1 12 30
DM1-2 0.2 12 30
DM1-3 0.3 12 30
DM1-4 0.4 11 31
DM1-5 0.5 10 32
DM1-6 0.6 10 32
DM1-7 0.7 9 33
DM1-8 0.8 9 33
DM1-9 0.9 8 34
DM2 DM2-1 0.1 8 14 28 34
DM2-2 0.2 7 14 28 35
DM2-3 0.3 7 14 28 35
DM2-4 0.4 7 15 27 35
DM2-5 0.5 7 15 27 35
DM2-6 0.6 6 15 27 36
DM2-7 0.7 6 16 26 36
DM2-8 0.8 6 16 26 36
DM2-9 0.9 6 16 26 36
DM3 DM3-1 0.1 7 11 15 27 31 35
DM3-2 0.2 6 11 15 27 31 36
DM3-3 0.3 6 11 15 27 31 36
DM3-4 0.4 6 11 16 26 31 36
DM3-5 0.5 6 11 16 26 31 36
DM3-6 0.6 5 11 17 25 31 37
DM3-7 0.7 5 11 17 25 31 37
DM3-8 0.8 5 11 17 25 31 37
DM3-9 0.9 4 11 18 28 31 38

4.4. 변위 계측 위치에 따른 형상 추정 정밀도

4.3 절에서 선정된 다양한 변위 계측 위치의 변위 정보를 입력하여 구조물의 형상 추정 정밀도를 Eq. (8)의 MAPE(%)를 이용하여 비교하였다. 추정 형상 비교를 위해서 앞서 설명한 DS1, DS2, DS3의 3가지의 변형 형상 모델을 대상으로 검증하였고 각 변형 형상 모델별로 Table. 2에 나타난 변위 계측 지점의 변위를 SFSM-LS기법에 대입하였다.
Fig. 7과 같이 변형 형상이 DS1, DS2일 경우 모든 경우의 변위 계측 위치에서 MAPE의 최대 오차가 3% 내외로 분석되어 매우 정밀한 형상 추정 결과를 도출함을 확인 할 수 있었다. S/L에 따른 추정형상 정밀도를 분석해 보면 S/L이 증가할수록 MAPE가 감소하여 정밀도가 향상됨을 확인 할 수 있다. 특히 계측 개소가 2곳 일 때 DM1의 경우 S/L이 증가할수록 변형 형상 추정 정밀도의 증가량이 DM2, DM3보다 큼을 확일 할 수 있다. 하지만, 변형 형상이 DS3인 경우 DS1, DS2의 결과와 다른 결과를 나타내었다. DS3의 경우 형상 추정 오차가 전체 평균 13.5%로 최대 3.3%를 넘지 않는 DS1, DS2와 달리 오차가 매우 크게 나타났다. 또한 변위 계측 개소가 증가할수록 추정 변형 형상 정밀도의 변화 폭이 DS1, DS2의 경우보다 두드러지게 나타났다. DM2, DM3는 S/L이 증가 할수록 변형 형상 추정 정밀도가 향상하지만, DM1의 경우 S/L이 증가할수록 정밀도가 하락되는 것을 확인 할 수 있었다.
Fig. 7
Accuracies of Estimated Deformed Shapes.
KOSHAM_16_06_289_fig_7.gif
이러한 현상의 원인은 DS1, DS2의 경우 구조형상함수와 매우 유사하기 때문에 적은 개수의 변위 계측 정보만으로도 추정이 가능하지만, DS3의 경우 거동형상이 복잡하므로 정밀한 형상 추정결과를 도출하기 위해서는 충분한 수의 변위 계측 위치와 적절한 변위 계측 위치 선정이 필요하다고 판단된다.

5. 기존 변위 계측 위치 선정 기술과의 비교

본 절에서는 EI-SF기법으로 선정된 변위 계측 지점과 기존의 방법으로 선정된 변위 계측 지점의 변위 데이터를 사용하여 구조물 형상 추정 정밀도를 Eq. (8)을 이용하여 비교 분석하였다. 비교 대상 방법은 직관적으로 선정된 변위 계측위치와 Kim (2005)이 제시한 변위 계측 위치이다.
직관적인 계측 위치 선정 방법은 사용자의 편리에 따라 구조물의 최대 처짐이 발생하는 지점, 설치가 용이한 지점, 또는 변위 계측 위치간의 거리를 균등하도록 배치하는 방법인데 본 연구에서는 균등 배치한 경우로 가정하였다. Kim (2005)는 단순보 모델과 켄틸레버보에 따라 변위 계측 지점을 제시하고 있는데 본 비교 연구에서는 단순보 모델의 계측지점을 이용하였다. EI-SF기법의 경우 앞선 Fig. 7의 결과 중 가장 정밀한 경우의 위치 선정결과를 이용하였다. EI-SF기법은 알고리즘의 반복 해석 과정을 통해 최적화가 가능하기 때문에 이와 같이 가장 정밀한 해석 결과를 타 방법과 비교하는 것이 합리적이라고 할 수 있다.
비교 결과는 Fig. 8과 같다. 변위 계측 개소가 증가 할수록 변위 계측 위치 선정 알고리즘에 따른 정밀도의 차이가 줄어드는 것을 확인 할 수 있다. 하지만 변위 계측 개소가 적을수록 EI-SF기법의 정밀도가 다른 방법에 비해 매우 정밀한 결과를 도출함을 확인 할 수 있다. 실제 구조물에서 변위 계측 지점을 증가하는 것은 바로 측정비용의 문제와 직결되므로 이와 같이 최소한의 변위 계측 지점을 합리적으로 선정할 수 있는 EI-SF기법이 매우 효과적인 기법이라 할 수 있다.
Fig. 8
Accuracy Comparisons between Conventional Methods and EI-SF.
KOSHAM_16_06_289_fig_8.gif

6. 결론

본 연구에서는 한정된 개수의 계측 변위를 이용하여 정밀한 구조물 형상추정결과를 도출하기 위한 위치선정법을 제시하고 수치예제를 통하여 검증하였다. 연구 결과는 다음과 같다.
  1. 변위계측위치를 선정하기 위하여 기존에 제시된 구조물의 진동형상모드를 고려한 유효독립분포벡터를 적용한 EI기법의 변형된 기법으로 구조물의 진동형상모드가 아닌 구조형상함수를 적용한 EI-SF기법을 제시하였다.

  2. 최적의 변위계측위치 선정을 위하여 EI-SF기법으로 제시된 변위계측위치 선정 알고리즘과 구조물 형상 추정기법인 SFSM-LS을 연동하여 정밀한 구조물 변형 형상 추정이 가능한 변위 계측 위치 선정 기법을 제시하였다.

  3. 정밀한 형상추정을 위한 변위계측위치 선정을 위해서는 EI-SF기법에 적용되는 구조형상함수의 최적화 과정이 필요하며, 기하학적 형상이 복잡한 형상을 추정할수록 구조형상함수의 최적화에 대한 영향이 크기 때문에 이에 대한 고려가 필요하다.

  4. 기존 연구들에서 제시된 변위계측위치 선정법과 구조물 형상추정 정밀도 비교 연구를 통해 본 연구에서 제시한 방법의 타당성 및 우수성을 검증하였다. 본 연구에서 고려된 구조형상함수의 조합만으로 결정된 위치에 의한 추정정밀도도 기존에 제시된 방법에 비해 구조물 변형 형상에 상관없이 높은 추정 정밀도를 나타냈다.

  5. 본 연구에서 제안한 EI-SF기법은 구조형상함수를 이용하여 변위계측위치를 산정하므로 구조물의 기하학적 특성이 고려된 계측위치가 산정되며, 이를 통해 다양한 구조물에 적용이 가능하다.

감사의 글

본 연구는 국토교통부 국토교통기술 촉진사업의 연구비 지원(15CTAP-C078861-02)에 의해 수행되었습니다.

References

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