2.1 Clark 모형의 개념

Clark 단위도는 선형하천과 선형저수지의 개념을 적용하여 유도한 직접유출수문곡선이다. 선형하천의 개념을 적용하여 유역 출구에 대한 시간-면적곡선을 유도할 수 있고, 이를 선형저수지에 입력으로 적용하면 그 출력으로 Clark 단위도를 얻을 수 있다(Clark, 1945).

선형하천의 개념은 유량의 크기에 관계없이 주어진 하천 구간을 지나가는데 걸리는 시간이 일정하다는 것이다. 선형하천은 강우로 인한 유출의 전이만 모의한다(Yoo and Kim, 2010). 따라서 유입량 함수f(x)에 대한 유출량 함수O(t)는 다음 Eq. (1)과 같이 계산된다.

여기서, T는 유역의 지체시간이다. 이 값은 선형하천모형의 유일한 매개변수이며, 유역의 최원점에서 유역출구까지의 도달하는데 걸리는 시간인 집중시간(T_c)이기도 하다.

선형저수지는 저류량과 유출량간에 선형의 관계를 만족한다는 가정에 근거한다(Yoo and Kim, 2010). 즉, 선형저수지는 다음과 같은 저류방정식으로 나타낼 수 있다.

여기서, S는 저류량이고O는 유출량, K는 비례상수로서 저류상수를 나타낸다. Eq. (2)를 연속방정식에 대입하여 정리하면 다음과 같이 유출량O에 대한 미분방정식으로 나타낼 수 있다.

또는

여기서, I는 유입량이다. 선형저수지로부터 유출량은 위 미분방정식을 풀어 얻을 수 있다. 즉,

만일, 순간단위도의 개념과 같이, 위 선형저수지에 순간적으로 단위유량이 유입되면, I(t) = 0 가 되고, 따라서 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

위 식이 바로 선형저수지 개념에 근거한 순간단위도가 된다. 선형저수지 개념에 근거한 단위도를 유도하려면 순간유입이 아닌 단위시간 동안의 단위유입을 고려하면 된다. 이 때 단위시간동안I(t) = 1이므로, 유출량은 다음과 같이 나타나게 된다.

위 식이 바로 선형저수지에 대한 1-시간 단위도가 된다.

2.2 Clark 모형의 매개변수

Clark 단위도의 매개변수로는 집중시간(T_c)와 저류상수(K)가 있다. 집중시간은 유역의 최원점에서 유역출구까지 물이 이동하는 데에 걸리는 시간인 도달시간이다. 또한 저류상수는 유효우량이 유역 출구로 빠져나가기 전에 유역에 일시적으로 저류시키는 능력을 시간의 단위로 표현한 것이다(Sabol, 1988).

집중시간에 대한 이론적 배경은 Lee et al.(2013)의 연구에서 자세히 살펴볼 수 있다. 이들은 Singh(1976), Yoo and Jun(2000) 및 Yoo et al.(2011)의 연구를 종합하여 집중시간 산정식이 다음과 같은 형태를 가지게 됨을 유도한 바 있다.

여기서, a, b는 유역의 특성에 따라 결정되는 계수이다. 저류상수에 대한 연구배경도 역시 Lee et al.(2013)의 연구에서 자세히 살펴볼 수 있다. Lee et al.(2013)은 Dooge et al.(1982)과 Yoo(2009)의 연구를 종합하여 저류상수 산정 식이 Eq. (9)와 같은 형태를 가지게 됨을 유도한 바 있다.

여기서, α는 상수이다. 국내외에서 개발된 주요 집중시간과 저류상수의 경험식들은 대부분 이 식의 형태를 따르고 있음이 확인되었다(Lee et al., 2013).

3.1 집중시간과 저류상수의 이변량 확률밀도함수 선정

집중시간과 저류상수는 종속적인 관계를 갖는다. 따라서 집중시간과 저류상수를 정량화하기 위해서는 이변량 확률밀도함수를 이용해야 한다. 본 연구에서는 집중시간과 저류상수를 이변량 감마분포와 이변량 대수정규분포를 이용하여 분석하였다. 감마분포를 고려한 이유는 집중시간이 대기시간의 특성을 가지고 있기 때문이며, 대수정규분포를 고려한 이유는 집중시간의 경험공식이 유역특성인자의 곱 형태로 나타나기 때문이다. 중심극한정리(central limit theorem)에 의하면 곱의 형태로 나타난 경험식은 대수정규분포로 잘 설명될 수 있다. 저류상수는 집중시간과 선형 비례의 관계로 잘 나타나므로 동일한 확률밀도함수를 적용하는 것이 가능하다.

이변량 확률밀도함수는 적용되는 조건 및 유도방법에 따라 그 종류가 다양하다. 이변량 정규분포나 이변량 대수정규분포가 거의 유일한 예외에 속한다. 이변량 감마분포의 종류도 10가지가 넘는다(Yue et al., 2001; Balakrishnan and Lai, 2009). 본 연구에서는 이 중 Smith, Adelfang and Tubbs (SAT) 이변량 감마분포를 선정하였다. 이는 기본적으로 SAT 이변량 감마분포가 그 적용상 제약이 적으며, 이로 인해 수문분야에서 다양한 적용 사례를 가지고 있기 때문이다(Yue, 2001; Yue et al., 2001; Nadarajah, 2005; Lee et al., 2010). SAT 이변량 확률밀도함수는 두 개의 확률변수가 양의 상관관계를 가지며, 형상 매개변수가γ₁ > γ₂ > 1의 범위를 갖아야 한다는 적용조건을 가지고 있다(Lee et al., 2010). SAT 이변량 감마분포는 5개의 매개변수를 가지고 있다. SAT 이변량 감마분포의 확률밀도함수는 다음 식과 같다.

여기서, λ_i는 형상 매개변수, α_i는 축척 매개변수, ρ는 상관계수이다. i는 각 변량x와y를 나타낸다. 두 매개변수 사이에는 다음 조건λ_{y ≥} λ_x와0 ≤ η < 1이 만족되어야 한다. 또한, 위 식에서c_jk와η는 각각 다음과 같이 정의된다.

SAT 이변량 감마분포의 누적확률밀도함수는 Eq. (13)과 같다.

여기서,

또한, H(•)은 불완전 감마함수이다.

SAT 이변량 감마분포의 매개변수인 형상 매개변수λ_i와 축척 매개변수α_i는 모멘트법으로 산정할 수 있다. 형상 매개변수와 축척 매개변수는 평균μ_i와 분산 σi2를 이용하여 각각 아래 식을 이용하여 산정된다(Yue et al., 2001).

이변량 대수정규분포(Bivariate log-normal distribution)는 두 개의 대수정규분포를 결합한 확률밀도함수이다. 이변량 대수정규분포는 두 개의 대수정규분포를 결합하여 다음과 같이 나타낸다.

여기서, q는 다음과 같다

여기서, μYi는 평균, σYi는 표준편차이고, Y_i(i = 1, 2), ρ는 자기상관계수이다. ρ는 다음 식과 같이 계산된다.

대수정규분포의 매개변수인 표준편차 σYi와 평균 μYi은 다음 식으로 산정된다.

3.2 이변량 확률밀도함수의 적합도 검정

관측된 집중시간과 저류상수가 이론적 확률밀도함수에 적합한가를 판단하기 위해서는 적합도 검정을 해야 한다. 적합도 검정방법으로는X²검정, Kolmogorov-Smirnov 검정 등이 있다. 본 연구에서는 적합도 검정하는 방법으로 Kolmogorov- Smirnov 검정을 이용하였다. Kolmogorov-Smirnov 검정은 표본 수가 적은 경우에도 적용가능하다는 장점이 있다. Kolmogorov-Smirnov 검정의 기본적인 절차는 표본자료의 누가확률분포와 가정된 이론 누가확률분포함수를 비교하는 것이다. 둘 사이의 최대편차가 표본의 크기와 유의수준에 따라 결정되는 한계 편차보다 크면 가정된 이론 확률밀도함수는 기각된다.

이변량 확률밀도함수의 Kolmogorov-Smirnov 검정에 필요한 결합빈도함수(joint frequency function)는 다음과 같이 계산한다.

여기서, N은 자료의 총 개수이다. 결합누적빈도(joint cumulative frequency)는 다음 식과 같이 계산한다.

3.3 이변량 확률밀도함수를 따르는 난수발생

난수(random number)란 주사위를 던져서 나온 점의 수와 같이 어떤 확률적인 규칙에 따라서 우연히 발생하는 수를 말한다. 난수의 정의는 이와 같이 숫자 그 자체의 성질에 대해서 주어져 있다고 하기보다는 오히려 숫자를 발생시키는 과정의 확률적인 성질에 대해서 기술되는 것이다(Rho, 2000). 이변량 분포의 난수 발생은 먼저 두 변량 중 한 변량에 대한 난수발생으로부터 시작한다. 나머지 변량에 대한 난수발생은 아래와 같이 조건부 확률밀도함수를 이용한다.

즉, 발생된 난수를 조건으로 하는 조건부 확률밀도함수를 구하고, 이를 이용하여 다른 변량에 대한 난수발생을 수행하게 된다. 본 연구에서는 기각법(method of rejection)을 이용하여 난수발생을 수행하였다.

4.1 대상지역 및 Clark모형 매개변수

본 연구에서는 충주댐 유역을 대상유역으로 선정하였다. 충주댐 유역은 평창강 유역과 남한강 상류 유역을 포함한다. 충주댐 유역은 수자원단위지도 정보를 이용하여 총 50개의 소유역으로 구분하였다. 충주댐 유역 및 소유역 구분현황은 Fig. 1과 같다. 각 소유역 별 Clark 모형의 매개변수는 Lee et al.(2013)의 결과를 이용하여 Park(2014)이 결정한 값을 이용하였으며, 하도 홍수추적은 운동파 추적기법을 이용하여 수행하였다.

Fig. 1

Classification of Sub-basin of Chungju Dam Basin

4.2 Clark 모형 매개변수의 불확실성 정량화

본 연구에서는 모형 매개변수의 불확실성 정량화를 위해 Lee(2012)가 다양한 호우사상의 분석을 통해 얻은 유역의 집중시간과 저류상수 자료를 이용하였다. 본 연구에 사용한 집중시간과 저류상수의 기초통계량은 Table 1과 같다.

Table 1

Statistics of Concentration Time and Storage Coefficient

유역의 집중시간과 저류상수에 대해 SAT 이변량 감마분포와 이변량 대수정규분포의 적합도를 검토하기 위해 Kolmogorov- Smirnov 검정을 수행하였다. Table 2는 각 유역에 대한 SAT 이변량 감마분포와 이변량 대수정규분포의 검정 결과를 정리한 것이다. 참고로, 방림 지점과 상안미 지점에 대한 비교는 Fig. 2와 같다. 이러한 검정 결과를 통해 SAT 이변량 감마분포와 이변량 대수정규분포가 관측된 집중시간과 저류상수에 대해 적합하다는 것을 확인할 수 있었다.

Table 2

Kolmogorov-Smirnov Test for Goodness of Fit

Fig. 2

Cumulative Frequencies for the Kolmogorov-Smirnov Test

본 연구에서는 이들 자료, 즉, 주어진 유역에 대해 수집한 집중시간의 평균과 표준편차, 저류상수의 평균과 표준편차 및 상관계수를 이용하여 그들 사이의 관계를 분석하였다. 이들 사이의 관계를 그림은 나타낸 것이 Figs. 3과 4이다.

Fig. 3

Relationship of Average and Standard Deviation

Fig. 4

Relation of Concentration Time, Storage Coefficient, and Correlation Coefficient

위 그림에서도 판단할 수 있듯이, 집중시간과 저류상수의 표준편차는 평균과 비례의 관계를 보이고 있으나, 상관계수는 반비례의 관계를 보이는 것으로 나타난다. 그러나 자료가 가지는 변동성이 커서, 그 관계가 선형적인지 또는 비선형적인지를 판단하는 것은 어려운 것으로 판단하였다. 이에 적용이 간단한 선형 관계를 가정하고 회귀식을 결정하였다. 그 결과는 아래 식과 같다.

위 결과 중 평균과 표준편차의 관계는 결정계수R²가 0.564(집중시간), 0.503(저류상수)로 상대적으로 양호한 것으로 나타났다. 그러나 상관계수의 경우 그 결정계수R²는 0.270으로, 통계학적으로 유의한 값이기는 하나, 작게 나타났다. 따라서 이 식에 근거하여 추정하게 되는 상관계수는 그 대표성이 아주 크다고 할 수는 없다. 본 연구에서는 Park(2014)이 산정한 소유역 별 집중시간 및 저류상수 값과 위 회귀식을 이용하여 추정한 집중시간의 표준편차, 저류상수의 표준편차 및 상관계수를 결정하였다.

4.3 매개변수의 불확실성을 고려한 홍수유출해석 결과 평가

본 연구에서는 2011년 6월 29일 13:00 ~ 2011년 7월 2일 24:00에 발생한 호우사상을 대상으로 매개변수의 불확실성을 고려한 홍수유출해석 결과를 평가하였다. 강우 자료로는 한국수자원공사에서 운영하고 있는 충주댐 유역 내 32개 지점의 우량관측소 자료를 이용하였고, 각 소유역의 면적평균강우량은 Thiessen 법을 이용하여 산정하였다.

다음으로, 각 소유역의 집중시간과 저류상수는 SAT 이변량 감마분포와 이변량 대수정규분포를 이용한 난수 발생으로 다양화하였다. 난수는 각 소유역의 집중시간과 집중시간의 표준편차, 저류상수와 저류상수의 표준편차, 집중시간과 저류상수의 상관계수 값을 SAT 이변량 감마분포와 이변량 대수정규분포의 매개변수로 입력하여 생성하였다. 본 연구에서는 SAT 이변량 감마분포를 이용하여 집중시간과 저류상수를 소유역마다 50개, 이변량 대수정규분포를 이용하여 집중시간과 저류상수를 소유역마다 50개를 생성하였다. Figs. 5와 6은 도암, 송청, 임계, 광동댐에 대해 생성된 난수발생 결과를 히스토그램으로 나타낸 것이다. 다음 그림에서 살펴볼 수 있는 것처럼 난수발생의 결과가 감마분포와 대수정규분포의 형태로 나타나는 것을 확인하였고, 이러한 결과를 통해 난수발생이 적절히 수행되고 있는 것을 확인할 수 있다.

Fig. 5

Random Number Generation Results for SAT Bivariate Gamma Distribution

Fig. 6

Random Number Generation Results for Bivariate Log-normal Distribution

본 연구에서는 위 그림과 같이 SAT 이변량 감마분포와 이변량 대수정규분포로 생성된 소유역별 집중시간 및 저류상수를 이용하여 유출 앙상블 멤버를 생성하였다. 유출 앙상블 생성은 HEC-HMS를 이용하여 수행하였다. 생성된 유출 앙상블 멤버는 Figs. 7과 8과 같다. 그림에서 점선은 생성된 유출앙상블 멤버를 나타내며, 실선은 관측결과를 나타낸다. 그림에 제시한 유역은 하반정 지점, 주천 지점, 평창 지점, 영월1 지점, 영월 지점, 영춘 지점 등이다. 그림에서도 살펴볼 수 있는 것처럼 본 연구에서 고려한 두 이변량 분포를 적용한 결과는 매우 유사하다. 이는 첨두유량에 대한 통계치의 비교에서도 살펴볼 수 있다(Table 3).

Fig. 7

Results of Runoff Ensemble Members (SAT Bivariate Gamma Distribution)

Fig. 8

Results of Runoff Ensemble Members (Bivariate Log-normal Distribution)

Table 3

Average and Standard Deviation (Marked with Parantheses) of Peak Value (Peak Flow, Peak Time) of Runoff Ensemble

위 표와 같이 나타난 결과는 평균에 대한 신뢰구간의 크기를 이용하여 시각적으로 비교할 수 있다. 평균에 대한100(1−α)신뢰구간은 다음과 같이 계산된다.

여기서, σX¯ = σ/n이다. σ가 미지수일 때 표본 표준편차s로 대신한다.

본 연구에서는 충주댐 유역 상류에서 하류까지 첨두유량 및 첨두시간에 대한 신뢰구간의 변화특성을 파악하기 위해 총 10개 지점에 대해 신뢰구간을 계산하였다(Fig. 9). 그림에서 살펴볼 수 있는 것과 같이 첨두유량과 첨두시간은 그 값이 커질수록 신뢰구간이 넓어지고 있으며, 결과적으로 이를 연결한 마름모의 크기가 커짐을 확인할 수 있다. 하지만, 분산은 작아지는 것을 알 수 있다. 중첩되어 있는 마름모 중 가장 작은 것은 신뢰구간 90%, 중간 것은 신뢰구간 95%, 가장 큰 마름모는 신뢰구간 99%를 나타낸다.

Fig. 9

Changes of Confidence Intervals of Peak Value (Peak Flow, Peak Time) on Basin Scale

이렇게 산정된 유출 결과의 신뢰구간을 관측치와 비교하여 그 신뢰도를 평가하였다. 관측자료가 있는 위 6개 지점의 경우 하반정 유역은 신뢰구간 90%, 주천, 평창 유역은 신뢰구간 99%, 영월1, 영월, 영춘 유역은 신뢰구간을 벗어나는 것으로 나타났다. 이 결과는 SAT 이변량 감마분포를 이용한 경우와 이변량 대수정규분포를 이용한 경우 모두 동일한 것으로 확인되었다.

추가로, 23개의 호우사상(2009.07.14. 12:00 - 07.17. 00:00 (61시간), 2010.09.21. 05:00 - 09.24. 05:00 (73시간), 2011.07.27. 01:00 - 2011.08.01. 00:00 (96시간))에 대해서도 적용하고 그 결과를 평가해 보았다. 먼저, 2009년 호우사상에 대해 적용한 결과, 주천지점은 SAT 이변량 감마분포와 이변량 대수정규분포를 이용하여 산정한 95% 신뢰구간에서, 영월 지점은 SAT 이변량 감마분포로 산정한 90% 신뢰구간, 이변량 대수정규분포로 산정한 95% 신뢰구간에서 각각 관측치가 확인되었다. 2010년 호우사상에 대해서는, 주천지점이 SAT 이변량 감마분포로 산정한 99% 신뢰구간에서, 이변량 대수정규분포로 산정한 신뢰구간에서는 신뢰구간 99%를 벗어난 곳에서 확인되었다. 영월 지점은 주천지점과 마찬가지로 SAT 이변량 감마분포로 산정한 99% 신뢰구간에서 관측치가 확인되었고, 이변량 대수정규분포로 산정한 신뢰구간에서는 신뢰구간 99%를 벗어난 곳에서 확인되었다. 마지막으로, 2011년 호우사상에 대해 적용한 결과, 하반정, 주천, 영월 지점에서 신뢰구간에 관측치가 확인되었다. 하반정 지점은 SAT 이변량 감마분포와 이변량 대수정규분포를 이용하여 산정한 90% 신뢰구간에서 관측치가 확인되었다. 주천 지점은 SAT 이변량 감마분포와 이변량 대수정규분포를 이용하여 산정한 90% 신뢰구간에서 관측치가 확인되었다. 영월 지점은 주천지점과 마찬가지로 SAT 이변량 감마분포로 산정한 95% 신뢰구간에서 관측치가 확인되었고, 이변량 대수정규분포로 산정한 90% 신뢰구간에서 관측치가 확인되다.

이상과 같은 결과를 평균과 표준편차를 이용하여 무차원화하고 함께 나타내면 다음 그림과 같다(Fig. 10). 전체적으로 보면 오차의 규모가 신뢰구간을 초과하는 경우가 더 많았으며, 또한 첨두시간보다는 첨두유량에서의 오차가 더 큰 것으로 나타났다. 그러나 일부 지점의 경우는 고려한 총 4개의 호우사상 중 예측 신뢰구간 안에 드는 경우가 하나도 없어, 추정된 매개변수가 관측 호우사상을 잘 모의하지 못하는 편의(bias)된 유출결과를 주고 있음도 확인할 수 있었다.

Fig. 10

Comparison of the Confidence Interval of Flood Runoff Analysis and Observations