Spatial Downscaling of Daily Rainfall Using Geographically Weighted Regression Model

정수 윤; 병화 오; 재웅 조; 윤태 김; 석환 황

doi:10.9798/KOSHAM.2017.17.3.305

Abstract

Various spatial downscaling methods have been developed since the downscaled hydrological and meteorological data from point measurements can be used for input data of hydrological analysis. Each of the methods, however, have the pros and cons and there is a lot of difference between the results of the methods so that the practical application of the methods is not easy. Also, there have been not comparison and verification for each spatial downscaling method in Korea. Therefore it needs to investigate the spatial downscaling methods and assess the downscaled data for the determination of the optimal spatial downscaling method. This study applied the geographically weighted regression model to twelve events and examined the downscaled daily rainfall. As a result, the downscaled daily rainfall by the geographically weighted regression model was similar to the downscaled daily rainfall by the multi-quadric interpolation method when the rainfall correlated with the elevation. However, the downscaled daily rainfall by the geographically weighted regression model was smoothed with the daily rainfall of adjacent basins. It has been found that only using elevation as an independent variable of the model has a limit to reflect the Korean geographic feature.

Keywords: Spatial Downscling, Geographically Weighted Regression Model, Daily Rainfall, Elevation

요지

지점 관측자료로부터 공간 상세화된 수문기상 자료는 유역 단위 수문순환 해석의 기초 입력자료로 활용되기 때문에 다양한 공간 상세화 기법이 개발되어왔다. 그러나 각 방법의 장단점이 존재하고 각 방법의 결과에 대한 차이가 크기 때문에 상세화 기법의 실무 적용은 한계가 있다. 또한 현재까지 기법 간의 신뢰할 만한 비교 검증이 없었던 것도 사실이다. 따라서 최적의 상세화 기법 결정을 위해 수문기상 자료 상세화 기법에 대한 체계적인 조사와 상세화된 자료의 정량적 신뢰도 평가가 필요하다. 이에 본 연구에서는 공간적인 내삽방법인 공간가중회귀모형을 실제 12개의 호우사상에 적용하여 공간 상세화된 일강수량을 검토하였다. 그 결과 공간가중회귀모형에 의해 상세화된 일강우량은 고도에 따른 경향성이 나타난 경우에 다중이차내삽방법에 의한 일강수량과 유사하게 나타났다. 반면 이러한 경향 없이 저고도에서만 강우가 크게 발생한 경우 공간가중회귀모형에 의해 추정된 일강우량은 주변 유역의 일강우량과 평활화되는 것으로 나타났다. 또한 본 연구에서는 공간가중회귀모형의 독립변수로 고도를 적용하였으나 고도만으로는 한반도 지형 특성을 반영하기에는 한계점이 있음을 확인하였다.

1. 서론

대표적인 물관리 기관인 국토교통부 홍수통제소는 유역별 수문특성을 분석하기 위해 지점 수문기상 자료를 유역 단위로 가공하여 수문해석, 수자원 계획 수립 등에 활용하고 있다. 현재 국내에서 수문해석을 위해 활용되고 있는 유역평균 강수량은 통상 산술평균법, 지배면적 가중법, 거리가중법 등을 통해 산정되고 있다. 그러나 우리나라와 같이 시공간적으로 강수량 편차가 큰 경우 이러한 방법에 의해 산정된 유역평균 강수량은 강수량의 과대 혹은 과소 추정, 면적강수의 평준화 등 다양한 문제를 유발할 수 있다. 또한 대부분의 댐 상류 유역은 산악지형으로 구성되어 있는데 반해 현재 이용되고 있는 유역 평균 강수정보 산정 기법은 이러한 산악지형을 반영하는데 한계가 있어 강우-유출 해석 시 상당한 오차를 유발할 수 있다. 또한 기상청에서 격자자료 생산에 사용하는 기법과 수자원 실무에서 면적 강수량 산정에 사용하는 기법 등이 상이하고 결과에 대한 비교가 없어 실무에 적용하기 어려운 실정이다.

레이더 및 인공위성과 같은 원격탐사 기술이 발전함에 따라 고해상도 수문기상 정보의 요구가 지속적으로 증가하고 있다. 기상청에서는 지상 관측망(ASOS 및 AWS)과 레이더 자료를 바탕으로 격자형 강수자료를 생산하여 제공하고 있다(National Institute of Meteorological Research, 2004; 2005; 2006; Weather Radar Center, 2014; 2015, Yoo et al., 2016). 그러나 제공된 자료를 수자원 분야에 활용하기 위한 기반 연구가 부족한 것이 현 상황이다. 이에 최적의 수문기상 자료 상세화 기법 도출과 그 기법에 대한 검증을 통해 수문-기상 연계에 대한 기반 마련과 제공된 수문기상 자료에 대한 활용성 강화가 필요하다(Hwang and Ham, 2013a).

ASOS와 AWS 등의 지점 관측자료로부터 공간내삽된 수문기상 자료는 유역 단위 수문순환 해석의 기초 입력자료로 활용될 수 있기 때문에 지난 수십여 년 동안 다양한 공간 상세화 기법이 개발되었다(Chen et al., 2002; Daly, 2006; Um and Jeong, 2011; Kim et al., 2012; Hwang and Ham, 2013b). 그러나 각 방법에 따른 장단점이 존재하고 각 방법의 결과에 대한 차이가 크기 때문에 실무 적용에는 한계가 있다. 또한 현재까지 기법 간의 신뢰할 만한 비교 검증이 없었던 것도 사실이다. 따라서 격자형 수문기상 자료 활용을 위한 최적의 상세화 기법 결정과 상세화된 자료의 정량적 신뢰도 평가가 필요하다.

본 연구에서는 수문해석 정확도 향상을 위해 공간적인 내삽방법인 공간가중회귀모형을 검토하여 보았다. 이를 위해 실제호우사상으로 총 12개의 일강수량을 적용하였으며 공간가중회귀모형의 결과를 다중이차내삽방법 및 PRISM의 결과와 비교하였다.

2. 공간가중회귀(Geographically Weighted Regression)모형

공간가중회귀모형은 원래 선형회귀 분석을 지역별 자료에 평활화(Smootihg) 하는 것으로부터 기원하여 Cleveland(1979) 및 Cleveland and Devlin(1988) 등에서 지역가중회귀(Locally Weighted Regression)로 처음 지칭되었다. 공간가중회귀모형은 관심 지점과 타 지점 간의 상관관계가 거리에 의존한다는 가정을 따르고 있다. 그러나 공간가중회귀모형은 형태상 결정적인 중심지 하나를 가정하고 있지는 않다. 이것은 지역이 모든 지역에 대해 연관관계를 가지고 상호작용을 하고 있으므로 고전적 중심지의 개념보다는 지역간 상호작용의 크기만을 고려해야 한다는 전제로부터 출발하고 있다. 공간가중회귀모형을 제안한 Cleveland(1979) 및 Cleveland and Devlin(1988)에 따르면, 시계열 자료에서 볼 수 있는 시간 지체(time lag)와 비슷한 개념으로 지역간 공간 지체(spatial lag)를 이용함으로써 회귀선이 표본의 자료에 매우 적합한 것으로 나타났다.

독립변수를 x, 관측변수를 y라 했을 때 일반적인 1차 선형회귀식은 다음 Eq. (1)과 같다.

(1)

yi = β0 + β1xi + εi

여기서, β_0, β₁은 1차 선형회귀식의 상수이고ε_i는 N(0, σ²)을 따르는 오차항이다.

한편, 독립변수 x가 m개로 늘어나게 되면 Eq. (1)은 다음과 같은 다중 선형회귀식이 된다.

(2)

yi = β0 + β1x1, i + β2x2,i + ... βmxm,i + εi

다중 선형회귀식의 상수β는 Eq. (3)과 같이 독립변수와 관측변수를 벡터계열로 구성하여 추정할 수 있다.

(3)

β^ = (XTX)−1XTY

한편 독립변수에 어떤 가중치를 적용하게 되면 상수β는 다음 식과 같이 추정할 수 있다.

(4)

β^ = (XTWX)−1XTWY

이상에서와 같이 일반적인 선형회귀식의 상수들 즉, y 절편을 결정하는 상수와 독립변수들 앞에 존재하는 상수들은 같은 자료계열에서 단 하나씩 추정된다. 반면 공간가중회귀식은 관측자료의 공간적인 상관 규모를 고려하여 공간적으로 분포된 회귀식의 상수들 추정하는 방법이다. 이러한 공간가중회귀식은 위치 u에 따라 다음식과 같이 나타낼 수 있다.

(5)

yi(u) = β0(u) +β1(u)x1,i + β2(u)x2,i + ... + βm(u)xm, i +εi

Eq. (5)에서와 같이 상수β는 위치 u에 따라 다르게 추정 되며 그 추정식은 다음 식과 같다.

(6)

β^(u) = (XTW(u)X)−1 XTW(u)Y

Eq. (6)의 가중치 행렬 W는 다음과 같은 행렬로 나타낼 수 있다. 본 연구에서는 공간가중회귀모형의 독립변수로 고도만을 적용하였다. 이는 결국 Eq. (1)의 1차 선형회귀식을 이용한 것으로 가중치 행렬 W의 행렬 요소 w는 실제로 w₁(u) 와w₂(u)이다.

(7)

W = [w1(u)0000w2(u)0000...0000wn(u)]

가중치 행렬의 w는 여러 핵함수 형태로 적용할 수 있으며 대표적으로 다음과 같은 가우시안 형태가 있다.

(8)

wi(u) = e−0.5(di(u)h)2

여기서, d₁(u)는 거리를 h는 가우시안 함수의 폭을 결정하는 밴드폭(bandwidth)을 나타낸다. 이러한 밴드폭은 가중치를 고려하는 강우의 영향 반경을 의미하는 것으로 그 값이 클수록 가중치를 고려하는 반경이 커지게 된다.

3. 가상 유역 및 호우에 대한 공간가중회귀모형의 적용

본 연구에서는 Fig. 1과 같은 고도를 갖는 유역을 가정하여 공간가중회귀모형에 적용해 보았다. 그림에서와 같이 고도는 (1, 5) 지점에서 가장 낮고 (5, 1) 지점으로 갈수록 높아지는 형태이다. 이러한 유역에 Table 1과 같은 호우를 발생시켰다. Case 1의 경우는 고도가 높아짐에 따라 강우가 증가하는 경우이며 Case 2는 Case 1과 반대로 고도가 높아질수록 강우가 감소하는 경우이다. Case 3은 강우의 크기가 고도와 상관없이 거의 유사한 경우이다(Fig. 2). 이와 같이 가정된 입력자료를 적용하여 공간가중회귀모형으로 추정한 강우가 Fig. 3과 같다. 그림에서와 같이 공간가중회귀모형은 고도에따른 강우의 특성을 반영하여 공간적으로 분포된 강우를 추정할 수 있다.

Fig. 1

A Hypothetical Basin

Table 1

Hypothetical Events

X	Y	Elv	Rain(mm)
X	Y	Elv	Case 1	Case 2	Case 3
1	3	30	1	20	16
2	4	70	5	15	15
3	2	140	10	10	17
4	5	160	15	5	16
5	1	250	20	1	15

Fig. 2

Rainfalls According to the Elevation

Fig. 3

Downscaled Rainfall by the Geographically Weighted Regression Model

4. 실제 호우사상에의 적용

4.1 적용자료

본 연구에서는 Fig. 4와 같은 고도 자료와 536개 AWS 지점의 강우량을 적용하였다. Fig. 4a에서와 같이 우리나라는 동해를 따라 고도가 높게 형성되어 있으며 서쪽으로 고도가 낮아지는 형상으로 이루어져 있다. 한편 Fig. 4b에서와 같이 기상예보를 목적으로 하는 AWS는 도서를 포함하여 전국에 걸쳐 비교적 균등하게 분포되어 있다. 본 연구에서 적용한 호우사상은 Table 2와 같이 총 12개의 일강우량을 적용하였다.

Fig. 4

Applied Elevation and AWS

Table 2

Storm Events Analyzed in this Study

Event	Date	Event	Date
1	28 JUN 2008	7	17 JUL 2010
2	19 JUL 2008	8	10 AUG 2010
3	20 JUL 2008	9	11 AUG 2010
4	24 JUL 2008	10	13 AUG 2010
5	25 JUL 2008	11	11 SEP 2010
6	22 AUG 2008	12	21 SEP 2010

Fig. 4와 같은 고도 자료로부터 각 AWS 지점의 고도를 추출하여 고도에 따른 각 지점별 일강수량 산점도를 나타낸 결과가 Fig. 5와 같다. Fig. 5는 전국 지점의 AWS 일강우를 동시에 나타낸 것이기 때문에 일강수량과 고도의 상관성이 떨어진다. 공간가중회귀모형에서는 전체 지점에서의 자료를 적용하는 것이 아니라 밴드폭 이내의 자료들만을 고려하여 강우를 추정하게 된다. 그러므로 밴드폭 이내의 자료들이 고도에 따라 강우량이 어떤 경향성을 나타낸다면 추정된 강우 역시도 동일한 경향성을 나타낼 것이다.

Fig. 5

Daily Rainfalls According to the Elevation (Event 6)

4.2 공간가중회귀모형을 이용한 일강우량의 공간 상세화

Table 3은 12개의 호우사상에 대한 밴드폭을 나타낸다. 밴드폭은 최속 약 11.9 km에서 36.5 km의 범위를 나타냈다. 이는 강우장의 공간상관 거리가 약 30 km 보다 작다는 점에서 적절하다고 할 수 있다(Yoo and Kim, 2007). 이러한 밴드폭을 가중치 함수에 적용하고 독립변수로 고도를 적용하여 추정한 상수β₀와β₁ 이 Fig. 6과 같다. 그림에서와 같이 공간가중회귀모형을 이용하여 공간적으로 분포된 상수β₀ 와β₁ 이 추정 가능함을 알 수 있다. y절편을 결정하는 상수β₀ 는 0에서 크게는 200까지의 범위를, 회귀식의 기울기를 나타내는β₁ 은 -0.5에서 0.5까지의 범위를 나타냈다. β₁ 이 양의 값을 나타내는 것은 강우량이 고도가 높아질수록 커지는 것을 의미하며 음의 값은 그와는 반대를 의미한다. 이상과 같이 추정된 회귀모형의 상수와 고도자료를 이용하여 공간적으로 분포된 강우량을 나타낸다. 공간가중회귀모형은 독립변수로 고도를 적용함에 따라 강우의 공간적인 분포에도 고도의 영향이 반영할 수 있음을 확인할 수 있다.

Table 3

Bandwidth of the Geographically Weighted Regression Model for Each Event

Event	Bandwidth(km)	Event	Bandwidth(km)
1	27.6	7	23.7
2	36.5	8	25.0
3	25.1	9	26.6
4	11.9	10	23.0
5	20.7	11	18.8
6	22.9	12	23.2

Fig. 6

Two Constants of the Geographically Weighted Regression Model and Downscaled Daily Rainfall (Event 6)

4.3 유역평균강우량의 산정 및 결과 검증

본 연구에서는 공간가중회귀모형으로부터 추정된 일강우량에 대한 검증을 위해 다중이차내삽 방법 및 PRISM으로부터 추정된 유역평균강우량과 비교하였다. 먼저, AWS와 국토교통부 일강수량 자료를 다중이차내삽 방법에 적용하여 공간 상세화된 일강수량 자료의 유역평균강우량을 GRD(A)라 명하였다. AWS 일강수량 자료만을 다중이차내삽 방법에 적용하여 공간 상세화된 일강수량 자료의 유역평균강우량을 GRD(K)라 명하였다. 그리고 AWS 일강수량 자료를 PRISM 방법에 적용하여 공간 상세화된 일강수량 자료의 유역평균강우량 GRD(P)라 명하였다. 마지막으로 본 연구에서 적용된 공간가중회귀모형으로부터 추정된 일강수량의 유역평균강우량을 GRD(G)라 명하였다.

각 추정 방법에 따른 유역평균강우량이 Fig. 7과 같다. 그림에서와 같이 GRD(G)는 고도에 따라 일강우량의 경향성이 뚜렷이 나타난 경우에 GRD(A) 및 GRD(K)와 유사하게 나타났다. 고도가 높아짐에 따라 일강우량이 증가하는 Event 5와 그와 반대로 나타나는 Event 12의 경우가 이에 해당한다. 반면 이러한 경향 없이 저고도에서만 강우가 크게 발생한 경우(Evnet 2) GRD(G)는 주변의 유역과 평활화되는 것으로 나타났다. 이러한 특성은 고도가 낮은 해안가 주변의 유역에서 자주 나타났다. 반면 PRISM 방법의 경우에서는 해안으로부터의 가중치를 적용함으로써 해안가에서의 강우를 보다 잘 추정한 것으로 나타났다.

Fig. 7

Mean areal rainfall over the basin (GRD(A), GRD(K), GRD(P) and GRD(G) from left to right)

Event 4의 경우에서는 양양 남대천 유역과 강릉 남대천 유역의 GRD(G)가 GRD(A) 및 GRD(K)보다 작게 추정되었다. Event 4에서는 주로 높은 고도의 유역에서 강우가 크게 발생하였다. 물론 양양 남대천 유역과 강릉 남대천 유역에서도 100 mm 이상의 큰 강우가 발생하였으나 이보다 높은 유역에서 더 큰 강우가 발생하여 전체적으로 고도가 증가함에 따라 강우가 증가하는 경향성을 나타냈다. 이러한 경향성을 반영한다면 고도가 낮은 양양 남대천 유역과 강릉 남대천 유역은 강우량이 작게 추정될 수밖에 없다. 그리고 GRD(P) 역시도 강원도 영동 지역의 강우를 작게 추정하는 것으로 나타났다.

Fig. 8은 GRD(P)의 산점도 및 오차를 나타낸다. GRD(P)에 대한 비교 자료로 GRD(A) 및 GRD(K)를 각각 적용하였다. 오차는 GRD(P)에 대한 GRD(A) 및 GRD(K)의 비로 산정하였다. GRD(P)는 GRD(A) 및 GRD(K)와의 산점도에서 일부 과소하게 추정된 값을 제외하고는 거의 유사한 것으로 나타났다. GRD(P)의 오차는 1을 주변으로 변동하는 것으로 나타났으며 강우량이 작을수록 변동성이 크게 나타났다. 이는 강우량의 오차를 비의 형태로 산정하게 되면 강우량이 작을수록 변동성이 커진다는 점을 잘 반영한 결과이다.

Fig. 8

Scatter Plots of Daily Rainfall and Error [GRD(P)

Fig. 9는 GRD(G)의 산점도와 오차를 나타낸 결과이다. GRD(G)와 GRD(A) 및 GRD(K)의 산점도를 살펴보면 강우가 큰 경우 GRD(G)는 보다 작게, 강우가 작은 경우는 GRD(G)는 보다 크게 추정된 것으로 나타났다. 이러한 결과는 GRD(G)의 오차를 나타낸 그림(Fig. 9b, 9d)에 더욱 확연히 나타난다. 그림에서와 같이 오차는 강우량이 작은 경우는 1보다 큰 값으로 강우량이 큰 경우는 1보다 작은 값으로 나타났다. 이는 결국 강우량이 작은 경우 GRD(G)는 크게, 강우량이 큰 경우는 작게 산정되는 것이다.

Fig. 9

Scatter Plots of Daily Rainfall and Error [GRD(G)

이와 같은 오차를 중권역별로 나타낸 결과가 Fig. 10과 같다. 대체로 GRD(G)는 유역평균강우가 작은 경우는 오차는 1보다 큰 것으로 나타나 강우를 보다 크게 추정하는 것으로 나타났다. 특히 강우가 매우 작은 경우, 예를 들어 Event 4의 전라도 지역의 경우 GRD(G)는 GRD(A) 및 GRD(K)에 비해 과대하게 추정되는 것으로 나타났다. 한편 GRD(P)의 경우 해안가 주변은 대체로 GRD(A) 및 GRD(K)보다 과소하게 추정하는 것으로 나타났다. 이는 해안가로부터의 거리를 가중치로 적용함으로써 해안가 주변의 강우가 과소하게 추정된 결과이다.

Fig. 10

Error over the basin (GRD(P) and GRD(G) from left to right comparing with GRD(A))

Fig. 11

Error over the basin (GRD(P) and GRD(G) from left to right comparing with GRD(K)

본 연구에서 적용된 공간가중회귀모형은 밴드폭을 적용하여 호우의 공간 규모를 적용하고 있지만 한반도와 같이 보다 지형이 복잡한 경우에서는 호우의 공간 규모와 함께 지형적인 요소를 함께 고려해 주어야 한다. 본 연구에서는 지형요소로 고도를 적용하였으나 고도만으로는 한반도 지형 특성을 반영하기에는 무리가 있다. 예를 들어 남한강 상류 유역과 강릉 남대천 유역은 서로 맞닿아 있기 때문에 단기간의 호우 특성은 서로 비슷할 수 있다. 그러나 본 연구에서와 같이 단순히 고도를 반영하여 강우량을 추정하게 된다면 두 유역의 고도는 크게 차이가 나기 때문에 추정된 강수량 역시도 크게 차이가 날 수밖에 없다.

5. 결론

본 연구에서 공간적인 내삽방법인 공간가중회귀모형을 실제 12개의 호우사상에 적용하여 검토하여 보았다. 공간가중회귀모형은 관측자료의 공간적인 상관 규모를 고려하여 공간적으로 분포된 회귀식의 상수들 추정하는 방법으로 적용 독립변수로 고도를 적용하게 되면 고도에 따른 강우의 특성을 반영한 강우를 추정할 수 있다.

12개의 호우사상으로부터 추정된 밴드폭은 최속 약 11.9 km 에서 36.5 km의 범위를 나타냈다. 이는 강우장의 공간상관 거리가 약 30 km 보다 작다는 점에서 적절하다고 할 수 있다. 이러한 밴드폭을 가중치 함수에 적용하고 독립변수로 고도를 적용하여 공간적으로 분포된 상수β₀ 와β₁를 추정하였다. y절편을 결정하는 상수β₀ 는 0에서 크게는 200까지의 범위를 나타냈으며 회귀식의 기울기를 나타내는β₁ 은 -0.5에서 0.5까지의 범위를 나타냈다. β₁ 이 양의 값을 나타내는 것은 강우량이 고도가 높아질수록 커지는 것을 의미하며 음의 값은 그와는 반대를 의미한다.

본 연구에서는 공간가중회귀모형으로부터 추정된 일강우량에 대한 검증을 위해 다중이차내삽 방법 및 PRISM으로부터 추정된 유역평균강우량과 비교하였다. 그 결과 GRD(G)는 고도에 따라 일강우량의 경향성이 뚜렷이 나타난 경우에 GRD(A) 및 GRD(K)와 유사하게 나타났다. 반면 이러한 경향 없이 저고도에서만 강우가 크게 발생한 경우 GRD(G)는 주변의 유역과 평활화되는 것으로 나타났다. 이러한 특성은 고도가 낮은 해안가 주변의 유역에서 자주 나타났다.

또한 양양 남대천 유역과 강릉 남대천 유역과 같이 고도가 급격히 변하는 영동 지역에서는 단순히 고도만을 반영하여 강우량을 추정하기에는 문제점이 있을 수밖에 없음을 확인하였다. 이와 같이 단순히 고도만을 반영한 공간가중회귀모형으로부터 추정된 GRD(G)는 GRD(A)와 GRD(K)와 비교하였을 때 그 오차가 크게 나타났다.

이에 비해 PRISM 방법으로 추정된 GRD(P)는 고도 뿐만 아니라 사면의 방향 및 해안으로부터의 거리를 가중치로 반영하여 GRD(A) 및 GRD(K)와 비교하여 거의 유사하게 나타났다. 이러한 결과는 GRD(P)의 오차로부터도 확인할 수 있었다. 그러나 PRISM 방법의 경우는 해안가로부터의 거리를 가중치로 적용함으로써 해안가 주변의 강우가 과소하게 추정되는 것으로 나타났다.

본 연구에서 적용된 공간가중회귀모형은 밴드폭을 적용하여 호우의 공간 규모를 적용하고 있지만 한반도와 같이 보다 지형이 복잡한 경우에서는 호우의 공간 규모와 함께 지형적인 요소를 함께 고려해 주어야 한다. 본 연구에서는 공간가중회귀모형의 독립변수로 고도를 적용하였으나 고도만으로는 한반도 지형 특성을 반영하기에는 한계점이 있음을 확인하였다.