2.1 모형의 개요

본 연구에서 적용한 모형은 미국환경보호국(US EFA)의 지원을 받아 Virginia Institute of Marine Science의 Hamrick에 의해 1992년 처음 개발된 EFDC 모형이다. EFDC 모형은 다양한 분야에 적용 가능하며 하천, 호수, 저수지, 습지, 연안에 대해서 수리와 수질에 대한 3차원 모의가 가능하며, 유체의 이동, 염분 및 온도, 부유물질의 이동, 오염물질의 확산, 부영양화, 독성물질 이동 등을 수치 모의할 수 있다. 특히 댐 또는 암거 등의 구조물 해석뿐만 아니라 수심이 얕은 수체에서도 모의가 가능하여 인공습지 등에 적용할 수 있다.

2.2 모형의 지배방정식

EFDC 모형의 동수역학(Hydrodynamic)모듈의 지배방정식은 시간 평균된 Navier-Stokes 방정식을 곡선-직교 수평 좌표계와 시그마 연직좌표계로 전환하여 유도하며, x, y 방향 운동방정식은 다음과 같다(Tetra Tech, 2007a).

여기서 u, v는 곡선-직교 수평좌표계에서의 x, y방향 유속, w는σ-연직좌표계에서의 z방향 유속을 나타낸다. z_s*, z_b*각각 자유수면과 하상의 물리적 연직좌표이며, H는 전체 물기둥 깊이를 가리킨다. m_x, m_y는 scale factor이고, φ는 자유수면 포텐셜로 gz_s*와 같다. f_e는 유효 Coriolis 가속도이다. A_v와 A_H는 각각 연직, 수평 동점성계수이고 D_p는 단위면적당 흐름방향에 수직인 식생의 무차원 투영면적, c_p는 저항계수를 나타낸다.

z방향에 대한 운동방정식은 정수역학을 가정하여 다음과 같이 간략화한 식을 이용한다.

여기서 ρ와 ρ_o는 각각 실제밀도와 기준밀도이고 b는 부력을 가리킨다. 직교-곡선 수평좌표계와σ- 연직좌표계에서 3차원 연속방정식은 다음과 같다.

2.3 동수역학모형의 매개변수

EFDC 모형은 유한차분법을 이용하여 지배방정식을 이산화하기 때문에 수치적으로 안정적인 계산결과를 얻기 위해 Eq. (7)의 CFL (Courant-Fredrich-Lawyer)조건을 만족하는 범위에서 매개변수를 조정해야 한다.

여기서, Cr은 Courant 수, Δx, Δy는 각각x, y방향 격자크기, Δt는 계산시간 간격이다. Eq. (7)에 따라 격자크기(Δx, Δy)를 작게 구성한 경우, CFL조건을 만족시키기 위해Δt도 충분히 작게 조절해야 수치적으로 안정적인 해를 얻을 수 있다. 또한 수평방향의 운동방정식에 포함된 동점성계수(A_H)는 유속의 시간적, 공간적 변화에 영향을 미치며, 셀 Peclet수 조건에 따라 수치진동을 일으킬 수 있다(Jang and Song, 2016). 따라서 수치적으로 안정적인 해를 얻기 위해 격자크기와Δt, A_H에 대한 검토가 필요하다.

구조물 주변과 지류합류부와 같이 복잡한 흐름구조가 나타나는 구간에서는 준 3차원 흐름모의 결과가 필요하다. EFDC 모형은σ-좌표계를 이용하여 연직방향 격자를 구성하기 때문에 layer수는 연속방정식과 운동방정식의 연직방향 이산화에 이용되며 유속의 연직분포 계산결과에 영향을 미친다. 또한 layer수에 비례하여 계산시간이 증가하기때문에 적절한 layer수의 결정이 필요하다.

동수역학모형의 흐름해석결과는 EFDC 모형의 여러 해석모듈의 계산에 이용되기 때문에 정확한 흐름모의결과를 얻기 위한 변수들의 민감도분석이 필요하다. Table 1은 동수역학모형의 흐름계산결과에 영향을 미치는 변수들을 정리한 표이다. 동수역학모형의 지배방정식이 갖는 특성에 따라 계산결과에 영향을 미칠 수 있는 변수들을 선택하였으며, 각 변수들을 변화시키며 수심 및 유속의 변화에 미치는 영향을 분석했다.

Table 1

List of Parameters for Sensitivity Analysis

3.1 수치모의 조건

복잡한 수리현상이 발생되는 합류수로에서 동수역학모듈의 민감도 분석을 수행했다. 동수역학모듈의 민감도분석 대상으로 수치해석결과의 안정성에 영향을 미치는 격자크기, 난류에 영향을 미치는 동점성계수, 그리고 준 3차원 흐름모의에 영향 미치는 연직 Layer수를 변화시키며 모의결과를 비교했다. 민감도 분석을 위한 대상수로는 Weber et al.(2001)의 합류수로 실험연구를 이용했고 수로의 제원은 Fig. 1과 같다.

Fig. 1

Descriptions of Confluent Channel

다양한 매개변수 변화에 대한 안정적인 수치모의 수행을 위해Cr수를 1.0 이하로 유지할 필요가 있다. 그러나 EFDC 모형의 최소 격자 크기가 0.1 m로 제한되어 있기 때문에 Weber et al.(2001)의 실험수로의 제원으로는 다양한 분석을 수행하기에 제한점이 있다. 따라서 본 연구에서는 실험수로의 하폭(W)과 수심(h₀)을 각각 10배씩 증가시켜 격자를 구성하였고, 수로규모 변화에 따른 동역학적 특성변화를 반영하기 위해 Table 2와 같이 Froude 상사법칙에 따라 유량조건을 변화시켰다. 따라서 Weber et al.(2001)의 실험조건과 Froude 수(Fr)를 일치시켜, 단면평균 유속(u_∞)은 1.99 m/s, 본류의 유량(Q_m)은 13.6 m³/s, 지류의 유량(Q_b)은 40.2 m³/s으로 정하여 모의를 수행하였다.

Table 2

Flow Conditions Applying the Similarity Law

새로 정의된 수리조건에 따라 민감도 분석을 수행하였으며, Table 3에 민감도분석조건을 정리했다. 격자크기에 대한 민감도 분석을 위해 최소격자단위와Cr수 조건을 고려하여Δx/W= 0.05 ~ 0.10로 변화시키며 민감도 분석을 수행했다.A_H는 포물선 형태를 가정하여 유도된 Eq. (8)을 이용하여 계산할 수 있다.

Table 3

Conditions for Sensitivity Analysis

여기서k는 von Karman 상수, u*=gRSf, g는 중력가속도, R은 동수반경Sf = (nu_∞/R^⅔)², n은 Manning의 조도계수이다. 민감도 분석은A_H에 포함된 인공점성의 영향을 고려하여 변화시켰으며(Jang and Song, 2016), Eq. (8)의 계산결과를 기준으로(Case TMA1) 안정적 수치모의가 가능한 범위 내에서A_H의 변화에 따른 모의결과를 비교했다. 마지막으로 layer 수에 대한 민감도 분석은 Jang et al.(2016)이 제안한 최소 layer수 5개를 기준으로, 모의결과에 큰 변화가 나타나지 않는 20개까지 변화시켰다.

3.2 격자크기에 따른 민감도분석 결과

격자크기에 따른 민감도분석을 위해 Table 3의 조건에 따라 격자크기를 변화시키며 수치모의를 수행하였으며, 계산결과를 Weber et al.(2001)의 실험결과와 비교했다. 수치모의에 이용한 격자크기는 안정적 수치모의를 위해Cr= 0.1로 정하여Δt를 변화시켰다.

Fig. 2는 격자크기 변화에 따른 수심적분 된 유속크기의 컨투어를 도시한 결과이며, 모든 Case에서 합류부 하류의 좌안에 나타난 재순환류로 인해 수심이 감소된 것을 볼 수 있다. Case TGC와 TGF를 비교해보면 격자크기가 세밀한 경우 재순환류의 크기가 더 넓은 범위에 걸쳐 발생했다.

Fig. 2

Water Depth Contours by Grid Size

수심변화의 정량적 비교를 위해 수심의 종 방향 변화를 Fig. 3에 도시했다. Weber et al.(2001)의 실험결과로부터y/W = 0.17에서 상류수심과 최저수심의 차이(Δh/h₀)가 0.187로 측정되었다. 수치모의결과로부터Δh/h₀는 Case TGC에서 0.172, Case TGM에서 0.180, 그리고 Case TGF에서는 0.187로 나타나, Case TGF에서 수심 감소를 가장 정확히 모의할 수 있었다. Fig. 4는 격자크기 변화에 따라 지류 합류부(x/W=−1.0)에서 유속의 횡 방향 분포를 비교한 그래프이다. 격자크기 변화에 따른 최대유속(u_max/u_∞)의 계산결과를 비교해보면 Case TGC에서는 1.17, Case TGF에서는 1.29로 계산되어 실측결과와 비교하여 각각 11.7%, 3.0% 낮게 계산된 결과를 보였다. 낮은 격자해상도에서 유속이 과소산정되는 결과는 Jeon and Chung(2012)에서도 밝힌 바 있다. 따라서 CFL조건을 만족하는 격자에서 격자해상도가 충분히 높지 않은 경우 유속이 과소산정 될 수 있고, 이에 따라 수심이 과대산정 될 수 있음을 알 수 있다.

Fig. 3

Longitudinal Change of Water Depth by Cell Size

Fig. 4

Transverse Variations of Velocity at x/W=−1.0

3.3 동점성계수에 따른 민감도분석 결과

동점성계수(A_H)가 수치모의결과에 미치는 영향을 분석하기 위해 Case TGM의 격자를 이용하여 민감도 분석을 수행했다. EFDC 모형은A_H를 사용자가 직접 입력하는 옵션과 수정된 Smagorinsky 모델을 이용하는 옵션 중에서 선택할 수 있으며(Tetra Tech, 2007b), 본 연구에서는 변화요인을A_H만으로 제한하기 위해 직접 입력하는 옵션을 선택하여 모의했다.

A_H의 변화에 따른 유속크기의 변화를 Fig. 5에서 비교했다. A_H가 증가함에 따라 합류점 하류에서 발생되는 양안의 유속편차가 점차 감소되었으며, Case TMA3에서는 재순환류가 발생되지 않았다. 그리고x/W=−1.0에서 최대 유속은A_H가 증가함에 따라 점차 감소되어 Case TMA1에 비해 Case TMA2와 TMA3의 최대유속이 각각 5.5%, 22.5%가 감소되었다.

Fig. 5

Velocity Contours According to the Eddy Viscosity

Fig. 6에서x/W=−3.34 와x/W=−1.0의 하폭방향 유속변화를 비교한 결과, Case TMA0와 TMA1에서는 실측결과와 유사한 유속분포를 나타냈으나 Case TMA2와 TMA3는 큰 오차를 나타냈다. 그리고 Fig. 7에서 볼 수 있듯이, A_H/hu*> 0.063 일 때A_H/hu*가 증가함에 따라 횡 방향 유속편차(Δu/u_∞)가 급격하게 감소했다. 이러한 결과는A_H/hu*가 과도하게 증가됐을 때 주어진 격자크기에서 유속에 의한 이송 보다 동점성계수에 의한 영향이 더 커졌기 때문이다. 본 연구에서 이용한 조건에 따라 유속에 의한 이송 거리는u_∞Δt= 0.07 m인데 반해, Case TMA2와 TMA3에서A_H/ u_∞는 각각 0.1 m, 1.0 m이다. 따라서 동점성계수의 영향이 이송에 의한 영향보다 작아지도록A_H를 결정해야 한다.

Fig. 6

Change of Velocity Magnitude by Eddy Viscosity

Fig. 7

Change of Lateral Deviations of Velocity Magnitude at x/W=−3.34

3.4 Layer수에 따른 민감도분석 결과

EFDC 모형은 정수압을 가정하여 연직방향 운동방정식을 풀이하며, z 방향 유속과 종, 횡 방향 유속의 연직분포를 계산한다. 연직방향의 운동방정식을 계산하기 위해σ-좌표계를 이용하기 때문에 연직방향으로의 layer수가 유속분포의 계산결과에 영향을 미친다. 따라서 본 연구에서는 Table 3과 같이 layer수에 따른 민감도 분석을 수행하였으며, layer수의 변화가 유속계산결과에 미치는 영향을 비교했다.

Fig. 8은 합류부의 바닥면에서 연직유속크기(w)의 변화를 비교한 그림이다. 그 결과, x/W= -0.1의 좌안에서 상승류가 발생하고 우안에서 하강류가 발생하는 현상이 동일하게 나타났으나 Case TML5의 연직유속이 Case TML10보다 더 큰 것을 볼 수 있다. Layer수에 따른w의 연직분포를 Fig. 9에 도시한 결과, layer수가 증가함에 따라w의 최대값이 증가했다. 이에 따라 바닥면의w또한 layer수가 증가함에 따라 점차 감소되는 것으로 나타났다. Layer수에 따른 값의 차이는 10개 이후 점차 감소되어 TML15와 TML20에서 수심적분 된w의 크기가 약 2%의 차이를 나타냈다. 따라서 layer수를 작게 설정할 경우 합류부에서의 세굴의 영향을 과대산정 할 가능성이 있다.

Fig. 8

Contours of Vertical Velocity at the Bottom Layer

Fig. 9

Comparisons of Vertical Velocity by Changing L at x/W=−1.0

Fig. 10은 박리영역이 발생하는x/W=−3.34에서 횡 방향 유속의 연직분포를 도시한 그림이다. 그 결과, Case TML10이 지류합류로 인해 시계방향으로 회전하는 이차류를 더 상세히 재현하고 있었으며, 박리영역과의 경계에서 전단면 또한 Case TML5보다 잘 재현했다.

Fig. 10

Vertical Profiles of Secondary Flow at x/W=−3.0