수충격압을 고려한 상수관망의 안전도 및 신뢰성 해석
Safety and Reliability Analysis of Water Distribution System Considering Pressure Surge
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Abstract
본 연구에서는 실제 도시 상수관망과 국내 4개의 권역별 광역상수도를 대상으로 부정류해석과 신뢰성해석을 통해 안전에 상대적으로 취약한 구역을 선정하였다. 부정류 해석결과를 신뢰성해석모형에 적용하여 호치민 상수관망과 4개 권역별 광역상수도의 파괴확률을 정량적으로 산정하였고 상대적으로 내구성이 약한 구역을 선정할 수 있었다. 또한 이 방법을 베트남상수관망과 4대 광역상수도에 적용한 결과 부정류의 효과로 인해 취약지역으로 선정된 지역은 상대적으로 관경이 큰 구역으로 나타났다.
Trans Abstract
In this study, the weakest pipes and areas in Ho Chi Minh small block water distribution system and 4 pipes of wide waterworks system have been estimated by the unsteady analysis and reliability analysis. Probability of pipe breakage of Ho Chi Minh small block water distribution system and 4 pipes of wide waterworks system was calculated by a reliability model. Furthermore, it was found that the safety analysis and reliability analysis chose the weak pipes and areas which have relatively larger diameter.
1. 서론
상수관망은 도시에서 가장 중요한 구조물 중 하나이며 시민들에게 안전하고 충분한 물 공급을 위한 중요한 요소이다. 하지만 최근 상수도의 노후화 및 누수, 파열 등 여러 가지 원인으로 인해 상수관의 안전 여부가 사회적으로 이슈화되고 있다. 상수관망의 갑작스런 압력의 변화나 필요유량의 변화는 과도한 수압의 급상승이나 급강하 현상을 일으키게 된다. 이러한 부정류의 전형적인 형태인 수격현상은 상수관망에 많은 피해를 유발하게 되고 이를 해석하기 위한 여러 가지 방법이 개발되고 보완되어져 왔다. 하지만 너무 긴 계산 소요시간, 수리구조물들을 위한 불분명한 경계조건들, 그리고 부정확한 마찰손실계수 등으로 인해서 상수관망의 부정류 수치해석은 어려운 작업으로 알려져 왔다. 또한 과거부터 상수관에 대한 연구가 많이 진행되어오고 있지만 많은 부분에서 효율적인 연구가 부족한 실정이다. 이는 지하에 매설된 관 부식의 정도를 파악하기 힘들며 또한 파괴 현상을 직접 목격하기 힘들어 해석을 통한 연구가 진행되기 때문이다. 상수관 파손은 상수관망 시스템의 역할 불능상태(state of system failure)를 만들게 된다. 따라서 이러한 불능상태를 야기하는 원인들을 불확실성인자들로 여기고 그에 따른 신뢰성 해석을 수행할 필요가 있다.
Mailhot et al.(2000)는 아주 짧은 파이프 파괴 기록이 있는 도시 상수관망을 위한 통계적 모델의 계수들을 평가하는 방법을 제시하였다. 그리고 파이프 파괴 측정기록을 갖고 있는 실제 도시의 상수관망에 대한 응용 방법을 보여주었다.
Kwon(2005)는 특성선법(The Method of Characteristics)을 이용한 상수관망에서의 부정류 수치해석기법을 개발하였다. 특히 단순관망부터 대도시 관망까지 여러 가지 관망을 시뮬레이션하여 수치모형은 물론 다양한 파이프 수리 구조물 및 파이프에 사용되는 여러 가지 기구들의 수치모델의 경계조건이 결정되었다.
Kwon et al.(2007)은 상수관망의 기능성평가 방법으로써 신뢰성 해석 모형을 개발하였다. 특히 상수관망에서 특정 파이프의 불능확률을 정량적으로 산정하여 부정류 해석결과를 상수관망의 불능확률 산정에 사용하였다. Kwon et al.(2008)은 상수관망에서 파이프의 파괴확률을 정량적으로 산정할 수 있는 신뢰성 모형을 개발하였다. 여기서 부정류 해석결과를 파이프의 파괴확률 산정에 이용하였으며 부정류의 효과가 파이프를 파괴할 수 있는 원인들 중 하나임을 증명하였다. 이 연구에서는 실제 상수관망에 적용하지 못하였고 샘플상수관망을 이용한 수충격해석 및 신뢰성해석이 이루어졌으며 적용가능성만 보여주었다.
본 연구에서는 실제 도시 상수관망인 베트남 호치민시 소블럭 상수관망과 국내 4개 권역의 광역상수도를 대상으로 부정류해석을 수행하였다. 부정류해석결과를 이용하여 상수관망의 파괴확률을 산정하는 신뢰성해석을 수행하고 이를 위해Kwon et al.(2008)의 신뢰성해석모형을 수정하여 실제상수관망에 적용이 가능하도록 보완하였다.
2. 부정류 해석
2.1 부정류 해석 모형
파이프 흐름에서 부정류 수치해석은 압력과 유속이 어느 지점에서나 시간의 함수로 결정되어야 한다. 해석에 쓰이는 두 개의 지배방정식은 잘 알려진 연속방정식과 운동방정식이며 두 개의 지배방정식을 푸는 여러 가지 해법들(Kwon, 2005)이 제시되고 있으나 거의 비슷한 결과를 보이고 있다. 따라서 본 연구에서는 상수관의 부정류 해석에서 가장 많이 사용되는 특성선법(The Method of characteristics)을 이용한 수치모형(Karney & McInnis, 1992; Watters, 1984)이 사용되었다. 파이프의 부정류 해석을 위한 지배방정식으로서 운동방정식과 연속방정식은 다음 식 (1) 및 (2)와 같다.
여기서, Q는 유량, g는 중력가속도, A는 파이프의 단면적, H는 위압수두(piezometric head), D는 관경, f는 Darcy-Weisbach마찰계수, 그리고 c는 압력파의 속도이다. L1이 운동방정식을 L2가 연속방정식을 의미한다면, 이들의 선형방정식, L = L1 + λL2(λ는 라그랑지안 멀티플라이어)은 다음 식 (3)과 같이 나타낼 수 있다.
λ는 다음 식 (4)과 같다.
식 (3)의 유한차분식은 각각 아래 식 (5) 및 (6)과 같이 수립되었다(Kwon, 2005).
특성선법의 경우 아래 식 (7)과 같은 수렴조건을 반드시 만족해야 한다.
2.2 베트남 호치민시 소블럭 상수관망
베트남 호치민시 소블럭 상수관망은 국내의 높은 해발고도를 갖는 배수지와는 달리 다소 낮은 해발고도 15m의 배수지를 갖고 있으며 약 0.125 km2의 면적에 평상시 약 0.009 m3/sec의 유량을 공급하고 있다. Fig. 1은 베트남 호치민시 소블럭 상수관망을 보여주고 있다. 본 상수관망은 1개의 배수지, 148개의 절점, 그리고 162개의 파이프로 이루어졌다. 또한 구역별 안전도 분석을 위해 같은 면적의 4개 구역으로 나누었다.
Ho Chi Minh small block water distribution system.
먼저 배수지에서 밸브가 3초만에 선형적으로 닫힌다고 가정하여 부정류해석을 수행하였다. 또한 각 절점별 소요유량의 밸브폐쇄시간(0.5초, 1초, 2초)에 따른 부정류 해석을 수행하였다. Table 1은 베트남 호치민시 소블럭 상수관망의 밸브폐쇄시간과 소요유량(demand)이 변경된 절점을 나타내고 있다. 부정류해석을 위한 수치해석 조건으로 Δt = 0.0008 sec, Δx= 1 m, c = 1250 m/sec를 사용하였다. 그리고 Darcy-Weisbach마찰계수는 모든 관에 대하여 0.04를 적용하였다.
Conditions of unsteady analysis for Ho Chi Minh water distribution system
2.3 4개 권역 광역상수도
본 연구에 사용된 4개의 관로는 과천권, 성남권, 구미권, 여수권의 권역별 광역상수도이다. 권역별 4개 관로는 모두 20년 이상 된 관로이며 특히 구미권과 여수권은 30년 이상 된 관로이다. Table 2는 권역별 4개 관로의 특성을 나타내고 있다. 그리고 권역별 4개 관로에 대한 부정류해석을 수행하였다.
Properties of 4 pipes of wide waterworks system
4개 권역 광역상수도에서는 밸브폐쇄시간별로 부정류해석을 수행하였다. 부정류해석을 위한 기본적인 조건으로 Δt = 0.01 sec, Δx = 10m, c = 1000 m/sec를 적용하였다. 그리고 권역별 4개 관로의 압력을 실측하고 Hazen-Williams 유속계수 C를 산정해 본 결과 113에서 122로 나타났다. 이를 Darcy-Weisbach 마찰계수로 변환하여 계산할 때 유속계수의 최소값과 최대값의 차이가 부정류해석결과에 미치는 영향이 미미하여 평균값을 적용하여 0.013을 사용하였다. Table 3은 권역별 4개 관로의 부정류해석을 위한 유량변화 및 밸브폐쇄시간 조건이다.
Conditions of unsteady analysis for 4 wide waterworks systems
2.4 부정류해석 결과
Fig. 2는 호치민 상수관망에서 부정류해석을 통해 나타난 최대압력변위를 절점별로 나타내고 있다. 그래프에서 볼 수 있듯이 호치민시 소블럭 상수관망에서는 큰 수격압의 형태가 나타나지 않으며 밸브의 개폐속도에 의해서 일어나는 수격압의 크기도 큰 변화가 없음을 알 수 있다. 따라서 이러한 작은 관경을 갖고 압력수두가 낮은 지역의 상수관망은 수격압으로 인한 파괴확률이 낮다고 판단할 수 있다.
Pressure change at junctions according to valve closure time (a) 0.5 sec, (b) 1.0 sec, (c) 2.0 sec.
Fig. 3은 4개 권역 광역상수도의 밸브폐쇄시간에 따른 부정류해석 결과의 예로서 순간적인 밸브폐쇄에 따른 4개 권역 광역상수도의 압력변화를 보여주고 있다. 이 결과를 통해서 4개 권역 광역상수도는 상대적으로 큰 관경을 갖고 있어 수격압의 크기가 상대적으로 크게 나타날 수 있으며 이 결과는 파괴확률에 직접적으로 영향을 미칠 것으로 판단된다.
Pressure oscillations due to valve closure at (a) Gwacheon, (b) Seongnam, (c) Gumi, (d) Yeosu.
3. 신뢰성 해석
3.1 신뢰성 해석 모형
신뢰성 해석은 여러 가지 해석방법에 따라서 Level II와 Level III로 분류된다. Level III은 난수를 발생시켜 구조물의 안정성에 영향을 주는 확률변수들을 이용하여 파괴확률을 산정한다. Level II는 저항함수와 하중함수를 이용한 신뢰함수(reliability function)를 수립하고 파괴확률을 산정하는 방법이다. 이 방법에서 확률변수들은 정규분포와 같은 특정한 분포함수를 따른다고 가정한다(Ang and Tang, 1984; Modarre, 1999; Frankel, 1988). Level II는 하중함수와 저항함수의 통계적 특성과 분산, 평균의 계산에서 비선형성의 존재에 따라 FORM(Frist-Order Reliability Method)과 SORM(Second-Order Reliability Method)로 분류된다. 본 연구에서는 FORM모형을 적용하였으며 신뢰함수로 주장력공식(8)을 사용하였다.
여기서, σa=파이프의 허용응력, t=관 두께, p=파이프의 내압, 그리고 D=관 직경이다. 신뢰함수에서 Z<0은 파괴상태, Z>0은 안전상태, 그리고 Z=0은 한계상태를 의미한다. 따라서 신뢰함수는 식 (9)을 사용하여 Z<0에 해당하는 파괴확률을 정량적으로 산정할 수 있다.
Fig. 4에서 신뢰지수(reliability index) β는 원점에서 파괴면의 설계점에 이르는 최단거리이며 반복계산에 의해서 구해진다.
Design point.
먼저 방향여현(directional cosine)은 식 (10)와 같이 구하고 식 (11)의 새로운 설계점을 산정하기 위해 사용된다. 첫 번째 반복계산에서는 확률변수의 평균값이 설계점으로 사용된다.
여기서, xi’=(xi−μxi)/σxi, xi=σa, t, p, D, 그리고 μxi와 σxi는 각 확률변수들의 평균과 표준편차이다. 따라서 설계점은 식 (11)와 같이 구할 수 있다.
여기서, μpN과 σpN는 파이프 내압의 등가정규분포의 평균과 표준편차이며 식 12과 같이 Rosenblatt 변환으로 산정할 수 있다.
여기서, Fp(x)와 fp(x)는 식 (13)과 같이 파이프 내압의 Gumbel 분포함수를 의미한다.
여기서,
적절한 β을 구한 후 새로운 설계지점은 β을 식 (10), (11)에 삽입함으로써 얻을 수 있다. β가 적정한 값에 수렴할 때 까지 반복계산이 이루어져야 한다. 파이프의 허용응력과 두께, 그리고 직경은 제품이 출고될 때 여러 불확실성을 내포하고 있지만 정규분포를 따른다고 가정하였다. 그리고 파이프의 내압의 경우 많은 불확실성이 내포되어 있으며 그 분포함수를 규명할 필요가 있다(Kwon et al., 2009). 또한 본 연구에서는 국내에서 실제 사용되는 관두께 산정식(Korea Ductile Iron Industry, 2012)을 작용하여 신뢰성해석을 수행하였다. 관두께 산정식은 정수압과 수격압, 그리고 토피에 의한 토압 및 트럭하중에 의한 토압을 전부 동시에 고려하고 있으며 정수압에 대한 안전율 2.0, 수격압에 대한 안전율 2.0, 토피에 의한 안전율 2.0, 차량하중에 의한 토압안전율 2.0을 대입하여 아래 식 (15)와 같이 산정한다.
여기서, t=관두께(mm), Ps=정수압(kg/cm2), Pu=수격압(kg/cm2), Kf=관저의 지지각에 따라 결정되는 계수, Kt=관정 0.076, 관저 0.011, Wf=토피에 의한 토압(kg/cm2), Wt=트럭하중에 의한 토압(kg/cm2), d=관의 내경(mm), σa=허용응력(kg/cm2)이다. 본 연구에서는 관두께 산정을 위하여 허용응력(σa)=2,500 kg/cm2, 차량하중=9,600 kg을 적용하여 토피 1.5 m, 2 m, 2.5 m에서의 관두께를 산정하였다.
3.2 베트남 호치민시 소블럭 상수관망
약 0.121 km2의 면적을 가진 베트남 호치민시 상수관망을 일정한 면적을 가진 4개 구역으로 나누고 각 구역별로 6∼7씩 총 25개의 측정지점을 선정하였다. 1구역과 2구역 그리고 4구역은 6개의 측정지점을 나타내었으며 3구역은 7개의 측정지점을 지정하였고 다양한 시나리오로 부정류해석을 수행하였다. Fig. 5는 베트남 호치민시 상수관망의 부정류 수치해석결과로 나타난 최대압력파고의 확률밀도함수를 보여주고 있다.
Probability density function of maximum pressure wave height in Ho Chi Minh water distribution system.
Fig. 5에서 볼 수 있듯이 확률분포가 Gumbel분포를 나타내고 있다. 베트남 호치민시 소블럭 상수관망의 구역별 파괴확률 산정을 위하여 각 구역별 파이프의 직경, 두께, 허용응력은 정규분포를 따른다고 가정하고 파이프의 수격압은 Gumbel분포를 사용하였다. Table 4는 베트남 호치민시 소블럭 상수관망의 구역별 관로의 특성을 보여주고 있다. 그리고 Fig. 6과 같이 베트남 호치민시 소블럭 상수관망의 구역별 파괴확률을 산정하였다.
Statistical properties of pipes in 4 areas of Ho Chi Minh small block
Probability of pipe breakage for each areas in Ho Chi Minh small block.
Fig. 6의 굵은 실선은 1구역의 파괴확률을 보여주고 있으며 얇은 실선은 2구역의 파괴확률, 굵은 점선은 3구역의 파괴확률, 얇은 점선은 4구역의 파괴확률을 보여주고 있다. 압력 5 kg/cm2에서 1구역의 파괴확률은 0.82%를 보여주고 있으며 2구역은 1.25%, 3구역은 1.13%, 4구역은 1.62%의 파괴확률을 나타내고 있다. 베트남 호치민시 소블럭 상수관망은 수충격 최대 압력파고의 평균이 3.7 m밖에 나타나지 않았지만 관재질이 PVC이기 때문에 파괴확률은 비교적 크게 나타났다. 베트남 호치민시 소블럭 상수관망의 경우 모든 압력에서 4구역이 가장 큰 파괴확률을 나타내었고 2구역, 3구역, 1구역이 그 뒤를 잇는 순서로 나타났다. Table 5는 베트남 호치민시 소블럭 상수관망의 구역별 파괴확률을 보여주고 있다.
Comparison of probability of pipe breakage for 4 areas of Ho Chi Minh water distribution system
3.3 4개 권역 광역상수도
4개 권역 광역상수도에서 밸브폐쇄시간에 따른 부정류해석이 수행되었다. Fig. 7은 권역별 4개 관로의 부정류 수치해석결과 나타난 최대압력파고의 확률밀도함수를 보여주고 있다.
Probability density function of maximum pressure wave height of (a) Gwacheon, (b) Seongnam, (c) Gumi, (D) Yeosu.
Fig. 7에서 볼 수 있듯이 4개 권역 광역상수도의 확률분포가 Gumbel분포를 나타내고 있다. 4개 권역 광역상수도의 파이프 파괴확률 산정을 위하여 파이프의 직경, 두께, 허용응력은 정규분포를 따른다고 가정하고 파이프의 수격압은 Gumbel분포를 사용하였다. 강관으로 구성된 4개 권역 광역상수도의 파이프 직경, 두께, 허용응력, 토피는 Table 6과 같다. Fig. 8은 4개 권역 광역상수도의 파괴확률을 보여주고 있다.
Pipe properties of 4 wide waterworks systems
Probability of pipe breakage for 4 pipes of wide waterworks systems.
Fig. 8의 굵은 실선은 과천권 광역상수도의 파괴확률을 보여주고 있으며 얇은 실선은 성남권 광역상수도의 파괴확률, 굵은 점선은 여수권 광역상수도의 파괴확률, 얇은 점선은 구미권 광역상수도의 파괴확률을 보여주고 있다. 그래프에서 볼 수 있듯이 압력 10 kg/cm2에서 과천권 광역상수도의 파괴확률은 16.6%이고 성남권 광역상수도는 17.9%, 여수권 광역상수도는 17.6%, 구미권 광역상수도는 10.9%의 파괴확률을 나타내고 있다. 15 kg/cm2이후부터 항상 과천권 광역상수도가 가장 큰 파괴확률을 나타내었고 성남권, 여수권, 구미권 광역상수도가 그 뒤를 이었다. 이는 과천과 성남권의 관로직경이 상대적으로 크기 때문이며 직경이 파괴확률 산정에 민감하게 반응하는 것으로 나타났다. Table 7은 4개 권역 광역상수도의 파괴확률 비교를 보여주고 있다.
Comparison of probability of pipe breakage for 4 pipes of wide waterworks system
4. 결론
본 연구에서는 실제 도시 상수관망인 베트남 호치민시 소블럭 상수관망을 대상으로 부정류해석을 수행하였고 신뢰성해석을 통하여 구역별 파괴확률을 산정하여 상대적으로 안전에 취약한 구역을 선정할 수 있었다. 베트남 호치민 소블럭 상수관망을 4개 구역으로 나누어서 신뢰성해석을 수행하였고 상대적으로 수격압으로 인한 관로파괴에 취약한 구역을 선정할 수 있었다. 또한 4개 권역 광역상수도에 대해 부정류해석을 수행하였다. 4개 권역 광역상수도의 파괴확률에 따른 안전도 분석결과 수충격압에 상대적으로 취약한 관로를 찾을 수 있었다. 그리고 신뢰성해석을 수행한 결과, 본 연구에서는 관경이 클수록 파괴확률이 상대적으로 크게 나타났다. 이는 관경이 클수록 수충격압의 크기가 크기 때문이며 설계변수 중 관경의 크기가 파괴확률에 민감하게 반응하는 것을 알 수 있었다. 본 연구에서 개발된 상수관망 신뢰성해석모형을 운영관리에 적용한다면 향후 개량이나 교체가 필요한 상수관로의 우선순위 선정에 유용하게 사용될 것으로 판단된다.
감사의 글
이 논문은 2015년도 청주대학교 연구장학 지원에 의한 것임.