1. 서 론
흙사면의 내진설계는 안전율기반설계와 성능기반설계로 대별되며, 전자는 사면의 붕괴여부를 평가하는 반면 후자는 사면의 사용성(혹은 기능성)을 성능에 기반하여 평가하는 설계법이다. 현재 가장 널리 적용되는 성능기준은 변위로서 사면의 영구변위를 산정한 후 설계허용변위와 비교하는 방법으로 성능기반설계가 이루어진다. 가장 간편한 사면 영구변위 산정기법은 Newmark 활동블록이론으로, 안전율 = 1에 해당하는 지진가속도인 항복가속도(ay)를 산정한 후 가속도-시간이력곡선에 적용하여 지진가속도가 항복가속도를 초과하는 구간의 시간에 대한 적분을 두 번 수행하여 영구변위를 산정하게 된다(Park, 2016). 따라서 성능기반설계에서는 항복가속도의 산정이 가장 중요한 요소이다.
항복가속도를 산정하는 가장 전통적인 방법은 대표적 사면안정해석기법인 한계평형해석을 이용하는 것으로 지진계수(k)를 변경시켜가며 사면안정해석을 반복수행하여 안전율 = 1일 때의 지진계수인 항복지진계수(ky)를 산정한 후 중력가속도를 곱하여 항복가속도(ay=kyg)를 산정하게 된다. 그러나 예비설계 단계에서 이러한 반복해석 과정을 수행하는 것은 비경제적이므로 여러 연구자들이 예비설계 단계에 적용할 수 있는 항복가속도 산정절차와 도표를 제안하였다(Lighthall, 1979; Prater, 1979; Leshchinsky and San, 1994; Ling and Leshchinsky, 1995; Sarma, 1999; Baker et al., 2006). 항복가속도 산정도표는 반복계산이 필요없는 장점이 있으나, 도표에 제시된 사면조건(강도정수, 사면경사와 높이, 단위중량 등)값 외의 조건에 대해서는 보간법을 적용해야하는 번거로움이 있다. 또한 한계평형해석은 파괴면을 가정하고 가정된 파괴면 상의 평형조건과 파괴규준만을 고려하는 바, 사면의 변위를 배제한 역학적인 엄밀성이 결여된 해석방법이다. 역학적 엄밀성을 담보하는 해석법으로는 흙의 구성관계를 고려한 유한요소해석과 유한차분해석이 대표적이다. 그러나 이러한 응력-변형률 관계를 고려한 수치해석들을 이용하여 항복지진계수를 산정하는 경우, 강도감소법을 이용하여 안전율 = 1이 될 때까지의 반복 계산과정을 피할 수 없을 뿐 더러 적합한 구성방정식의 선정, 입력자료의 증가, 수치해석의 안정성 등 해석 자체의 복잡성으로 실용성이 떨어진다.
역학적으로 엄밀하면서 간편한 해석법으로 한계해석(limit analysis)이 있다. 한계해석은 파괴 직전과 직후의 평형조건과 소성적합조건을 각각 독립적으로 고려한 하계 및 상계해석을 수행하여 엄밀해의 하한값과 상한값, 즉 엄밀해의 범위를 산정하는 방법이다. 이론적으로 파괴시, 즉 안전율이 1일때의 상태를 모사한 것으로 지진계수를 해로 선정하는 경우 산정된 해가 항복지진계수에 해당하므로 반복 계산과정이 필요없게 되는 장점이 있다. 또한 입력자료도 응력-변형률 관계는 필요없이 한계평형해석과 동일한 간단한 자료만 요구된다. 한계해석의 해석적 접근법으로는 대수나선 파괴면에 상계해석을 적용하여 항복가속도 산정절차와 도표를 제안한 연구들이 대표적이다(Chen and Liu, 1990; Weigao, 2015; Zhao et al., 2017; He et al., 2019). 이들 연구는 반복 계산 없이 항복지진계수를 산정할 수 있는 절차를 제안하였으나 그 계산과정이 매우 복잡하여 예비설계에 적용할 수 있는 항복지진계수 산정도표를 제안한 바 있다. 해석적 접근법들은 대수나선 파괴면이라는 동적허용속도장을 가정한 상계해석의 결과로 항복지진계수의 상한값만을 산정한 것이라는 한계점이 있다. 항복지진계수의 하한값을 산정하는 하계해석의 경우, 적절한 정적허용응력장을 해석적으로 추정하는 것이 불가능하여 수치해석기법을 적용하는 것이 일반적이다. 수치한계해석에서는 유한요소로 사면의 정적허용응력장과 동적허용속도장을 모델링하고 최적화 기법을 적용한 상계 및 하계해석을 수행하여 항복지진계수의 범위를 산정한 연구가 진행되어 왔다(Choi and Kim, 2010; Li et al., 2021; Li et al., 2022).
본 연구에서는 Choi and Kim (2010)의 단순 토사면에 대한 수치한계해석 결과를 이용하여 기존 항복지진계수 추정식의 타당성을 검증하고 새로운 항복지진계수 추정식을 제안하였다. 제안된 추정식과 기존 연구의 추정식을 한계해석 결과와 비교하여 제안된 식의 적용성을 분석하였고, 검증시험을 통해 제안식의 적정성을 살펴보았다. 검증시험은 첫째로 회귀분석에 이용되지 않은 데이터에 대한 항복지진계수를 추정한 후 수치한계해석 결과인 엄밀해(항복지진계수)의 범위에 대한 만족여부를 파악하였고, 둘째로 기존 사면 모형시험의 측정 결과와의 비교를 통해 타당성을 검증하였다. 제안된 추정식은 사면조건에 따른 항복지진계수를 반복계산이나 보간법 적용없이 양해적으로 산정할 수 있어 성능기반설계의 예비설계 단계에서 유용하게 쓰일 것으로 판단된다.
2. 연구범위
본 연구는 균질한 단순 토사면을 대상으로 하였으며, Fig. 1은 연구대상 사면의 조건과 지진발생시 작용하중을 도시한 것이다. Fig. 1의 사면은 반무한 지반조건으로 가정하여 기반암층의 영향은 고려하지 않았다.
Fig. 1에서 k는 지진계수로 지진 발생 시 유사정적 개념의 관성력, kW (W = 활동토체의 자중)가 작용하게 된다. 본 연구에서는 연직방향 관성력 성분은 작용하지 않는 것으로 가정하였으며, 따라서 지진계수는 수평방향 지진계수만을 의미한다. 특히 안전율 = 1일 때의 k가 항복지진계수(ky)로 항복지진가속도(ay)는 ky와 중력가속도(g)의 곱으로 산정된다. 본 연구에서는 사면조건을 사면경사 (β), 안정수(Nc), 그리고 내부마찰각의 마찰계수(tanφ)로 규정하였으며, 해석에 적용한 각각의 값을 Table 1에 정리하였다.
Table 1
Slope Conditions for Analysis
| Parameter | Scope |
|---|---|
| Slope angle, β (°) | 30°, 45°, 60°, 75° |
| Stability number, Nc* | 0.05, 0.1, 0.15, 0.2 |
| Frictional coefficient, tanφ | 0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1 |
본 연구에서는 Table 1에 제시된 176개 사면조건에 대한 Choi and Kim (2010)의 수치한계해석 결과인 항복지진계수의 하한값과 상한값의 평균값을 기반으로 회귀분석을 수행하여 항복지진계수 추정식을 제안하였다. 또한 같은 사면조건에 대한 기존 연구의 추정식과 본 연구에서 제안한 추정식의 결과를 비교하여 타당성을 분석하였다.
3. 한계해석
한계해석은 완전소성이론에 기반한 하계 및 상계정리를 이용하여 안정문제 해의 하한값과 상한값을 산정하는 기법이다. 하계해석은 정적허용응력장(statically admissible stress field)으로 파괴 직전의 상태를 가정하여 해의 하한값을 산정하고, 상계해석은 동적허용속도장(kinematically admissible velocity field)으로 파괴 직후의 상태를 가정하여 해의 상한값을 산정하게 된다. 하계해석에서는 평형방정식을 그리고 상계해석에서는 적합방정식과 유동법칙을 이용한 구성방정식을 만족하는 해를 구함으로써 역학적으로 엄밀한 해의 범위를 산정하게 된다. 따라서 한계해석 결과는 임의의 해석방법에 의해 산정된 해의 역학적 엄밀성을 검증하는 기준으로 사용될 수 있다.
Eqs. (1)과 (2)는 지진하중에 의한 관성력의 영향을 고려한 한계해석에서 만족되어야하는 방정식의 기본형이다. Eq. (1)은 하계해석의 정적허용응력조건을 만족하는 평형방정식이고, Eq. (2)는 상계해석의 동적허용속도조건 만족하는 일-에너지방정식이다. Eq. (2)의 응력항들은 적합조건과 유동법칙을 적용하여 속도항으로 변환된다.
여기서, ky는 항복지진계수, γ는 흙의 단위중량, Pc는 동적허용속도장의 연속체에서의 내부에너지 소산량, Pd는 동적허용속도장의 속도경계면에서의 내부에너지 소산량, Wg는 중력에 의한 외부일, Wi는 관성력에 의한 외부일, L은 속도경계면의 길이, u는 수평방향 변위속도, 그리고v는 연직방향 변위속도이다.
사면안정해석에 있어 한계해석의 적용은 연구용 혹은 검증용으로 국한되어 왔다. 특히 하계해석에 필요한 정적허용응력장을 직관적으로 가정하는 것은 매우 어려워 대부분의 한계해석 연구는 상계해석에 치중되어 왔다. 그러나 유한요소를 이용하여 사면을 모델링하고 정적허용응력장 조건과 동적허용속도장 조건을 유한요소의 절점변수와 형상함수로 공식화한 수치 한계해석 기법을 적용하여 해석적 방법의 한계점을 극복할 수 있다. 또한 사면안정해석 문제의 해를 목적함수로 설정하고 응력장과 속도장의 조건을 구속함수로 설정하여 최대 하한값과 최소 상한값을 산정하면 역학적으로 엄밀한 해의 범위도 줄일 수 있다. 따라서 수치 한계해석 기법은 결국 최적화 문제로 귀결된다. 사면안정해석 문제의 해는 안전율, 파괴하중, 임계높이, 임계사면경사 등이 될 수 있으며, 본 연구에서는 항복지진계수를 해로 선정하였으며, 하계 및 상계해석의 유한요소 수식과 최적화 개념은 Table 2에 정리하였다.
Table 2
Concept of Numerical Limit Analysis as an Optimization Problem
| Lower bound analysis | Upper bound analysis | |
|---|---|---|
| Objective function | Maximum ky | Minimum ky |
| Constraint conditions |
SASF* conditions ⋅Equilibrium: [A1]{σ}= {B1} ⋅Failure: [A2]{σ}≤ {B2} |
KAVF** conditions ⋅Compatibility+Plastic flow: [A11]{u}+ [A12]{λ} = {0} ⋅Failure: [A21]{u}= {B2} |
| Comments | {σ}= stress voctor | {u}= velocity vector, {λ}= plastic multiplier rate (scalar) |
Fig. 2는 Choi and Kim (2010)의 연구에서 적용한 유한요소망을 도시한 것이다. 모델 경계면의 영향을 최소화하기 위해 좌우 수평방향 경계와 연직방향 경계를 각각 사면 폭(W)과 높이(H)의 3배로 설정하였다. 또한 하계해석에서는 경계면에 무한요소(infinite element)를 적용하여 응력의 소멸를 고려하였고, 상계해석에서는 수평 및 연직 변위속도가 발생하지 않는 경계조건(u = v = 0)으로 고정하였다. 최적화를 통해 설정된 Fig. 2의 유한요소망은 3,528개의 유한요소, 84개의 무한요소, 그리고 10,584개의 절점으로 구성되어 있다.
본 연구는 Fig. 2의 유한요소 모델링과 Table 2의 최적화 개념으로 수행한 수치 한계해석 결과(Choi and Kim, 2010)인 항복지진계수의 하한값과 상한값의 평균값을 회귀분석 및 결과분석의 기초자료로 사용하였다. 본 연구에서 제안하고자 하는 항복지진계수 추정식의 역학적 엄밀성을 확보하기 위해 하한값과 상한값의 산술 평균값을 회귀분석의 기초자료로 설정하였다. Table 1의 사면조건에 대한 수치 한계해석 결과, 정적 안전율이 1보다 작아 항복지진계수가 산정되지 않는 경우를 제외하면 대상 사면조건은 총 137개였으며, 이들 조건에 대한 항복지진계수의 하한값과 상한값, 그리고 산술 평균값의 분포특성을 Fig. 3에 상자그림(box plot) 형태로 도시하였다.
Fig. 3에는 3가지 항복지진계수 각각의 최대-3분위-중앙(median)-1분위-최소값이 명시되어 있고, 평균값(mean)은 x로 표기하였다. 또한 항복지진계수의 하한값, 산술평균값, 상한값의 표준편차는 각각 0.247, 0.263, 0.288로 산정되었다.
4. 항복지진계수 추정식 분석 및 제안
4.1 기존 연구의 항복지진계수 추정식 분석
본 절에서는 기존 연구의 항복지진계수 추정식들을 Choi and Kim (2010)의 수치 한계해석 결과와 비교하여 그 적용성을 분석하였다. 문헌분석 결과, 현재까지 제안된 사면의 항복지진계수 추정식 중 모든 사면조건에 대해 보간법 적용없이 양해적(explicit)으로 항복지진계수를 산정할 수 있는 식은 매우 드문 것으로 파악되었다. 대표적인 사례는 Li et al. (2021)과 Wang and Leung (2023)의 연구결과이며, 본 절의 비교⋅분석은 이들 두 연구의 추정식을 대상으로 하였다. Li et al. (2021)은 수치 한계해석을 통해 산정된 평균 항복지진계수(하한값과 상한값의 산술평균)에 대한 회귀분석 결과로 추정식을 제안하였다. Wang and Leung (2023)은 한계평형해석에 의해 산정된 항복가속도를 학습데이터로 이용한 인공신경망(ANN) 모델을 개발하고, ANN 모델의 예측 결과에 대한 회귀분석을 수행하여 은닉층의 가중치를 계수로 하는 추정식을 제안하였다. 이들 추정식의 적용성을 분석하기 위해 본 연구의 수치 한계해석 결과와 비교하였다. β = 30°와 45°인 사면에 tanφ = 0.1~1 (0.1 간격)과 Nc= 0.05, 0.1, 0.15, 0.2인 경우를 대상으로 하였다. Li et al. (2021)의 추정식의 적용범위가 β ≤ 45°로 제한되어 있어 30°와 45° 경사의 사면에 대해 비교하였고, 결과를 Fig. 4에 도시하였다.
Fig. 4
Yield Seismic Coefficients from Existing Regression Equations vs. Lower and Upper Bounds from Limit Analysis
Fig. 4에서 실선은 한계해석 결과로 윗실선과 아랫실선은 각각 항복지진계수의 상한값과 하한값을 도시한 것이다. Fig. 4에서 보듯이 Li et al. (2021)의 제안식에 의한 추정값은 수치 한계해석 결과의 하한값과 상한값의 범위에서 벗어나 있고, 사면경사와 안정수가 클수록 두드러지는 경향을 보이고 있다. 해당 연구는 항복지진계수와 사면조건의 관계를 직접적으로 분석하는 대신, 사면조건에 따른 항복지진계수와 정적안전율을 연계하는 방식의 추정식을 제안하였다. 그 과정에서 최종 추정식의 계수들이 사면조건을 입력값으로 하는 각각의 회귀분석식을 통해 산정된 바, 회귀분석의 반복으로 누적된 오차로 인해 추정값이 역학적으로 엄밀한 항복지진계수 값의 범위를 벗어나게 되는 것으로 판단된다. 또한 추정식의 적용범위가 최대 사면경사 = 45°로 제한되어 있어 급경사 흙사면에는 적용이 불가능하다. 반면 ANN 모델에 기반한 Wang and Leung (2023)의 제안식에 의한 추정값은 수치 한계해석의 하한값과 상한값 범위 내에 부합하고 있다. 다만 안정수가 낮을수록 하한값에 근접하는 결과를 보여주고 있는데, 이는 ANN 모델의 학습데이터가 평형조건만을 고려하는 하계해석 개념에 가까운 한계평형해석 결과를 기반으로 하기 때문으로 판단된다. 또한 해당연구의 제안식은 ANN의 은닉층에 쓰인 가중치 12개를 계수를 갖는 13항 지수함수의 복잡한 형태로 실무적용에 있어 간편성이 떨어진다. 따라서 역학적 엄밀성을 담보하면서 동시에 실무적용에 간편하고, 경사가 45°보다 큰 급경사 사면에도 적용가능한 항복지진계수 추정식이 필요하다.
4.2 항복지진계수 추정식 제안
4.2.1 다항-상호작용 회귀분석
본 절에서는 수치 한계해석 결과로 도출된 사면조건에 따른 항복지진계수의 하한값과 상한값의 평균값을 적용하여 회귀분석을 실시하였다. 평균값을 도출할 수 있는 137개 사면조건에 대해 항복지진계수를 종속변수로 사면경사, 안정수, 마찰계수를 독립변수로 설정하여 회귀분석을 수행하였다. 본 연구에서는 종속변수와 독립변수 간의 비선형성과 독립변수 간의 상호작용을 모두 고려할 수 있는 다항-상호작용 회귀모델(Polynomial-Interaction Regression Model)을 적용하였다. p개의 독립변수에 대한 m차 방정식의 경우, 다항-상호작용 회귀모델 추정식의 일반형은 다음의 Eq. (3)과 같다.
본 연구에서는 3개의 독립변수(β, Nc, tanφ)에 대한 2차항의 항복지진계수 추정식을 제안하였다. 다항-상호작용 회귀분석을 통해 Eq. (3)과 같은 형식의 항복지진계수 추정식을 Eq. (4)와 같이 도출하였다.
(4)
여기서, β는 사면경사(in radians), Nc(=c/γH)는 안정수, 그리고φ는 내부마찰각이다.
회귀분석은 ChatGPT5를 이용하여 수행했으며, R2 = 0.997의 높은 상관관계를 보여주었다. 회귀분석 결과의 신뢰성을 검증하기 위해 범용 통계 소프트웨어인 PASW를 이용하여 상호작용항을 포함하는 2차 비선형 회귀분석을 수행한 결과, ChatGPT5와 동일한 계수와 상관관계가 산정되었다. 본 연구에서 항복지진계수 산정에 쓰인 3개 독립변수는 설계조건 혹은 독립적으로 산정되는 지반물성으로 변수 간 상호작용이 없어 보이나, 사면 안정의 관점에서 살펴보면 상호작용성이 존재한다. 예를들어 사면경사는 마찰계수에 영향을 미치고, 점착력과 마찰계수는 서로 반비례하는 경향을 보이는 등의 상호작용성이 존재한다. 따라서 다항-상호작용 회귀분석을 통한 항복지진계수 추정식의 제안은 타당한 것으로 판단된다.
Fig. 5는 Eq. (4)에 의해 산정된 항복가속도와 한계해석에 의한 항복지진계수의 하한값 및 상한값을 비교⋅도시한 것이다. 그림에서 굵은 실선은 유사정적 수치 한계해석에 의한 항복지진계수의 하한값과 상한값을(Choi and Kim, 2010) 도시한 것이고, 점선은 Eq. (4)에 의해 산정된 항복지진계수 값이다.
Fig. 5
Yield Seismic Coefficients from Proposed Regression Equations with Respect to Their Lower and Upper Bounds
Fig. 5에서 보듯 Eq. (4)에 의한 추정값은 한계해석의 하한값과 상한값의 평균값에 근접하여 위치하는 것을 확인할 수 있고, 따라서 Eq. (4)는 역학적으로 엄밀한 항복지진계수를 추정함을 알 수 있다. 안정수가 0.05이고 경사가 75°인 사면인 경우의 그래프는 누락되어 있는데, 이 경우 한계해석은 해(하한값 및 상한값)를 도출하지 못했고 Eq. (4)는 음(-)의 항복지진계수를 산정하였다. 이는 정적 안전율이 1보다 작은 경우로, 지진하중이 작용하지 않더라도 붕괴가 발생한 것으로 내진해석이 불필요한, 즉 항복지진계수를 산정할 필요가 없는 경우에 해당한다.
4.2.2 추정식의 민감도 분석
본 절에서는 추정식 Eq. (4)의 계수에 대한 물리적 의미를 해석하기 위한 민감도 분석을 수행하였다. Eq. (4)와 같이 비선형항과 상호작용항이 포함된 경우, 전역 민감도(global sensitivity)를 분석하는 것이 일반적이다. 본 연구에서는 독립변수들의 기여도와 상호작용 효과를 정량적으로 평가할 수 있는 Sobol 분석법(Sobol, 2001)으로 전역민감도 분석을 수행하였다. Sobol 분석법은 독립변수가 종속변수의 분산에 미치는 영향을 정량적으로 산정하는 기법으로 일반적으로 2종류의 지수를 이용하여 독립변수에 대한 종속변수의 민감도를 파악한다. 독립변수 각각의 단독 영향도는 1차 민감도 지수(S1)로 그리고 변수 간 상호작용까지 포함한 전체 영향도는 전역 민감도 지수(ST)로 파악된다. 따라서 두 지수의 차이, ST-S1 값은 상호작용 효과의 상대적 크기를 나타내며 이 값이 클수록 해당 변수는 단독 영향보다는 다른 변수와의 상호작용에 의한 영향이 더 크다는 것을 의미한다. 본 연구의 제안식 Eq. (4)의 독립변수에 대한 Sobol 지수는 Table 3과 같이 산정되었다.
Table 3
Result of Sensitivity Analysis in Terms of Sobol Indices
Table 3에서 항복지진계수에 대한 사면경사의 영향을 살펴보면 단독영향은 작고(S1 = 0.123) 다른 변수와의 결합에 의한 상호작용 효과가 매우 큰 것으로(ST - S1 = 0.862) 나타났다. 안정수는 중간 정도의 단독영향과 강한 상호작용 효과를 보이고, 마찰계수는 상호작용 효과는 거의 없이 단독영향이 매우 강한 변수로 나타났다. 특히 마찰계수는 단독 영향도가 약 61.5%로 가장 높은 민감도를 보이는데, 사면의 붕괴는 전단파괴 형태로 발생하므로 마찰계수의 영향도가 가장 크게 나타난다.
민감도분석 결과와 제안식 Eq. (4)를 연계하여 분석하면 다음과 같다. 사면경사가 증가하면 항복지진계수가 감소하게 되므로 사면경사의 단독항들은 음의 계수를 갖게된다. 안정수와 마찰계수는 사면의 안정성을 증가시키는 변수들로 항복지진계수 추정식에서 양의 계수를 갖게 된다. 다만 2차항의 경우 두 변수 모두 음의 계수를 갖고 있는데, 이는 일정수준 이상의 안정수와 마찰계수에서는 항복지진계수의 증가율이 감소하는 ‘포화효과’를 반영한 것이다. 상호작용항의 계수를 살펴보면βNc항은 양의 계수를 갖고 있는데, 이는 사면경사로 인한 항복가속도계수의 감소 효과보다 안정수로 인한 증가 효과가 더 지배적인 것을 보여준다. Table 3에서 보듯이 안정수의 단독영향이 사면경사보다 2배 이상으로 두 변수의 상호작용은 안정수가 더 지배적인 영향을 미치게 된다. βtanφ항은 Table 3에서 보듯이 마찰계수의 상호작용 효과가 미미하므로 사면경사가 지배하는 항으로 음의 계수를 갖게 된다. 반면 Nctanφ항은 두 변수 모두 항복가속도계수를 증가시키는 변수로 양의 계수를 갖게 된다.
5. 항복지진계수 추정식의 검증
본 절에서는 4절에서 제안한 항복지진계수 추정식의 타당성을 분석하기 위한 수치 검증을 수행하였다. 우선 Eq. (4)를 제안하기 위한 회귀분석에 사용되지 않은 사면조건에 대해 본 연구의 추정식과 기존 연구 중 역학적 엄밀성을 만족하는 Wang and Leung (2023)의 추정식을 수치 한계해석 결과와 비교⋅분석하였다. 또한 항복지진계수 실측값과의 비교⋅검증을 수행하였다. 이 경우, 실제 사면의 항복지진계수 혹은 항복가속도 측정사례가 없으므로 기존 연구의 모형시험 결과와 비교하였다.
5.1 회귀분석에 사용되지 않은 사면조건에 대한 검증
본 절에서는 Eq. (4)를 제안하는데 사용되지 않은 사면경사(β)와 안정수(Nc) 값에 대해 본 연구와 기존 연구(Wang and Leung, 2023)의 추정값을 수치 한계해석 결과와 비교⋅분석하여 Eq. (4)의 타당성을 검증하였다. 회귀분석에 사용되지 않은 사면경사, β = 25°, 35°, 40°, 50°, 55°, 65°, 70°, 80°에 대한 항복지진계수 추정값을 수치 한계해석 결과와 비교하였다. Fig. 6은 tanφ = 0.2, 0.5, 0.8에 대한 항복지진계수의 사면경사에 따른 변화를 안정수, Nc = 0.05, 0.1, 0.15, 0.2에 대해 도시한 것이다.
Fig. 6에서 범례의 f는 마찰계수(tanφ)를 의미하고, 삼각형과 원형은 각각 기존 연구와 본 연구의 추정값이다. Fig. 6에서 보듯 Eq. (4)의 추정값은 한계해석의 범위 내에 안정적으로 위치하고 있는 반면 기존 연구의 추정값은 하한값에 가까운 결과를 보이고 있다. 이러한 경향은 4.1절에 기술한 바와 같이 기존 연구 추정식의 기반이 되는 ANN모델의 학습데이터가 하계해석 개념에 가까운 한계평형해석 결과로 이루어져 있는데에 기인한다. 특히 사면경사가 70° 이상이 되는 경우 한계해석 범위를 벗어나는 기존 연구의 추정값이 관측되는데(Figs. 6(c)와 6(d)), 이는 ANN모델 학습데이터의 최대 사면경사가 70°로서 학습범위 밖의 입력값에 대해서는 추정능력이 떨어짐을 보여준다. 반면 본 연구의 추정식은 회귀분석에 사용되지 않은 입력값에 대해서도 합리적인 결과를 보여주고 있다.
Fig. 7은 회귀분석에 사용되지 않은 안정수, Nc = 0.03, 0.07, 0.09, 0.11, 0.13, 0.17, 0.19, 0.23에 대한 추정결과를 비교한 것으로, tanφ = 0.2, 0.5, 0.8에 대한 항복지진계수의 안정수에 따른 변화를 사면경사, β = 30°, 45°, 60°, 75°에 대해 도시한 것이다. Fig. 7의 범례는 Fig. 6와 동일한 의미를 갖는다.
Fig. 7에서 보듯이 본 연구와 기존 연구의 추정값 모두 한계해석 범위 내에 놓여있으나, 마찰계수가 커질수록 기존 연구는 하한값에 가까운 추정 결과를 보이고 있다. 특히 사면경사 75°의tanφ = 0.8인 경우, 기존 연구의 추정값은 한계해석의 하한값에 거의 일치하는 반면 본 연구의 제안식은 한계해석의 하한과 상한값의 평균에 가까운 합리적인 결과를 보여주고 있다.
5.2 원심모형시험 결과와의 비교⋅검증
본 연구에서 제안한 항복지진계수 추정식의 타당성을 검증하기 위해 Takemura et al. (1991)의 원심모형시험 결과와 비교하였다. Takemura et al. (1991)은 7 m 높이 사면에 대한 원심모형을 Toyoura 모래(단위중량 = 15.7 kN/m3, 점착력 = 5.5 kPa, 내부마찰각 = 42°)를 이용하여 사면경사 = 30°, 40°, 45°, 50°, 60°로 조성한 단순사면 모형에 0.23 g~0.42 g의 지진가속도를 적용한 원심모형시험을 수행하여 사면의 붕괴여부를 관측하였다. 시험 결과 9개 시험조건에 대한 붕괴여부를 관측하고, 그 결과를 Fig. 8과 같이 도시하였다. Fig. 8의 검은 사각형과 흰 사각형은 각각 붕괴가 발생하지 않은 경우(stable)와 발생한 경우(fail)에 해당하며, 이들 관측값을 한계해석의 하한값 및 상한값(실선)과 본 연구 제안식의 결과(점선)와 비교⋅도시한 것이다.
Fig. 8
Comparison of Centrifuge Test Results (Takemura et al., 1991; Data Points from Ling and Leshchinsky, 1995) with Limit Analysis and Proposed Regression Equation
Fig. 8에서 붕괴가 발생하지 않은 경우들의 작용 지진가속도는 모두 하계해석 결과, 즉 항복가속도의 하한값보다 작은 값임을 알 수 있다. 반면 붕괴가 발생한 경우들의 지진가속도 측정값은 항복가속도의 하한값과 상한값 사이에 위치하거나 상한값보다 더 큰 값임을 알 수 있다. 본 연구의 추정식에 의한 결과(Fig. 8의 점선)와 비교해보면 붕괴가 발생하지 않은 경우의 지진가속도 측정값은 모두 추정값보다 작게 관측 되었으나 붕괴가 발생한 경우의 지진가속도 측정값 5개점 중 2개점, (40°, 0.405 g)와 (45°, 0.34 g)은 항복가속도 추정값, (40°, 0.436 g)와 (45°, 0.373 g)보다 작은 가속도에서 붕괴가 발생하는 것으로 관측되었다. 그러나 오차의 범위가 10% 이내로 작고, 시험 측정값과 추정값 모두 안전율 = 1인 한계상태에 해당하므로 예비설계 단계의 적용성에는 큰 문제가 없을 것으로 판단된다. 또한 원심모형시험 결과는 붕괴시점을 어떻게 정의하느냐에 따라 달라질 수 있다는 점도 고려해야 할 것이다.
5.3 진동대 모형시험 결과와의 비교⋅검증
Lin and Wang (2006)은 진동대 모형시험을 수행하여 단순사면의 동적거동을 분석하였다. 높이가 10 m이고 사면경사가 30°인 사면의 진동대 모형을 균등한 중간밀도 모래(SP, 단위중량 = 16.6 kN/m3, 점착력 = 11.8 kPa, 내부마찰각 = 38.2°)를 이용하여 조성한 후, 진동가속도를 0.1 g에서부터 0.6 g까지 증가시켜 사면의 동적거동을 분석하였다. 시험결과 작용 지진가속도가 0.5 g에서 0.6 g로 증가시키는 과정에 사면붕괴가 관측되었고, 본 연구의 제안식에 의해 산정된 항복가속도는 0.533 g로 진동대 시험 측정 결과와 부합함을 확인하였다. 또한 해당 연구에서는 유한차분요소해석 프로그램인 FLAC을 이용한 정적유사해석을 수행한 결과 0.532 g의 항복가속도를 도출하여 본 연구의 추정 항복가속도와 부합하는 것을 확인할 수 있었다.
Wang and Lin (2011)은 전술한 2006년 연구의 후속연구로 진동대 모형시험에 입자영상유속계(PIV) 기법을 적용하여 흙입자의 이동이 관측되기 시작하는 시점에서의 가속도를 측정하여 항복가속도로 설정하였다. 높이가 10 m이고 사면경사가 30°인 사면의 진동대모형을 베트남 모래(SP, 단위중량 = 16.6 kN/m3, 점착력 = 0 kPa, 내부마찰각 = 35.3°)로 조성한 후, 진동가속도를 서서히 증가시켜 흙입자의 움직임을 촬영하고 PIV분석을 통해 0.15 g의 항복가속도가 관측되었다. 본 연구의 제안식에 의한 추정 항복가속도는 0.172 g로 산정되어 관측값과 추정값 사이에 약 14.7%의 차이가 있다. 이러한 차이는 PIV분석 시 사면의 항복시점을 어떻게 선정하느냐에 따라 달라질 수 있으며, 해당 연구에서는 보수적인 기준을 적용한 것으로 판단된다.
Xiaowu et al. (2021)은 높이가 7 m이고 사면경사가 20.4°인 황토(loess, 단위중량 = 12.9 kN/m3, 점착력 = 9 kPa, 내부마찰각 = 31°)사면의 진동대 모형시험을 수행하여 0.581 g의 항복가속도를 측정하였고, 본 연구의 제안식에 의해 산정된 항복가속도는 0.558 g로 측정값과의 높은 부합성을 보여주었다. 전술한 3개의 기존 진동대 모형시험의 조건 및 측정값과 본 연구의 제안식에 의한 항복가속도 추정값을 Table 4에 정리하였다.
6. 결 론
본 연구에서는 단순 흙사면의 성능기반 내진설계에 필수적인 항복지진계수를 산정할 수 있는 양해적 추정식을 제안하였다. 추정식은 다항-상호작용 모델에 기반한 회귀분석을 통해 제안하였으며, 회귀분석에 사용된 자료는 유사정적 수치 한계해석 결과(Choi and Kim, 2010)인 항복지진계수의 하한값과 상한값의 평균값을 적용하였다. 하계해석과 상계해석의 평균값을 적용함으로써 추정식의 역학적 엄밀성을 담보하였다. 제안식의 타당성을 검증하기 위해 회귀분석에 사용되지 않은 사면조건에 대한 검증과 기존 모형시험 결과와의 비교⋅검증을 수행하였다. 본 연구의 결론을 요약하면 다음과 같다.
(1) 흙사면의 성능기반 내진설계의 기준이 되는 사면 영구변위 산정에 있어 필수적인 항복지진계수 추정식을 제안하였다. 기존의 항복지진계수 추정법은 사면안정해석을 반복 수행하거나 혹은 산정도표를 이용하는 방법으로 예비설계 단계에 적용하기에 불편함이 있어 사면조건을 입력값으로 하는 양해적 추정식을 제안하였다.
(2) 양해적 항복지진계수 추정식에 대한 기존 연구결과가 매우 드물고. 기 제안된 추정식의 역학적 타당성에 대한 검증도 미미한 실정이다. 이를 위해 역학적 엄밀성이 담보된 유사정적 수치 한계해석 결과를 이용하여 기존 추정식의 타당성을 검증하였다.
(3) 기존 추정식보다 개선된 항복지진계수 추정식을 제안하기 위해 유사정적 수치한계해석 결과인 항복지진계수의 하한값과 상한값의 평균값을 이용하여 다항-상호작용 모델 기반의 회귀분석을 수행하였다. 회귀분석 결과로 제안된 항복지진계수 추정식의 결과는 유사정적 수치한계해석에 의해 산정된 항복지진계수의 하한값과 상한값 사이에 적절하게 위치하는 것으로 확인되었다.
(4) 본 연구에서 제안한 추정식의 회귀분석 과정에 사용되지 않은 사면조건에 대한 결과분석을 통해 추정식의 타당성을 검증하였다. 이를 위해 본 연구의 추정식과 기존 연구 추정식의 결과를 유사정적 수치한계해석 결과와 비교⋅분석하였다. 분석 결과 기존 추정식은 항복가속도의 하한값에 근접하는 결과를 보이는 반면 본 연구의 추정식은 하한값과 상한값의 평균에 근접한 결과를 보여주어 추정식의 타당성을 입증하였다.
(5) 기존 사면 모형시험의 항복가속도 측정 결과와의 비교를 통해 본 연구 추정식의 타당성을 검증하였다. 원심모형시험과 진동대 모형시험에서 측정된 항복가속도와 본 연구 추정식의 항복가속도를 비교한 결과, 추정식의 추정값은 적절한 것으로 판단되었다. 측정값과 추정값은 오차 10% 이내로 대부분 부합하였고, 약 15%의 오차가 발생한 경우는 모형시험에서의 붕괴기준이 주관적으로 설정된 것에 기인한 것으로 판단된다.
(6) 본 연구에서 제안한 항복지진계수 추정식의 적용성은 균등한 단순사면으로 제한되며, 사면조건은 경사 = 30°~75°, 안정수 = 0.05~0.2, 그리고 마찰계수 = 0~1 범위의 자료를 기반으로 제안되었다. 층상사면, 보강사면, 간극수압의 영향 등을 고려한 항복지진계수 추정식은 향후 본 연구의 접근방법을 확장⋅적용하여 제안할 수 있을 것으로 판단된다.
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